Calcule o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
T: R^2 R^3 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x-y,-x+3 y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2toR^3 por
T(x,y) = (,x+y,;2x-y,;-x+3y,)
Queremos encontrar ker T e Im,T. Para isso, vamos (a) resolver o sistema T(x,y)=(0,0,0) para o núcleo e (b) usar as colunas da matriz de T para a imagem.

Passo 2

O núcleo é dado pelos pares (x,y) que satisfazem
T(x,y) = (0,0,0),
isto é, o sistema
x + y = 0, 2x - y = 0, -,x + 3y = 0

Passo 3

Da primeira equação segue x=-y. Substituindo na segunda:
2(-y)-y=0 ;Longrightarrow;-3y=0 ;Longrightarrow;y=0,
portanto x=0. A terceira equação fica -0+3cdot0=0, que confere. Logo
ker T = (0,0)

Passo 4

A imagem de T é o subespaço de R^3 gerado pelas colunas da matriz de T na base canônica. Essa matriz é
1 & 1 2 & -1 -1 & 3 ,
cuja primeira coluna é (1,2,-1) e a segunda é (1,-1,3).

Passo 5

Verificamos que (1,2,-1) e (1,-1,3) não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes e formam uma base de Im,T. Assim
Im,T = span(1,2,-1),,(1,-1,3)

Resposta

ker T = (0,0), Im,T = span(1,2,-1),,(1,-1,3)

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