Calcule o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos encontrar
e
. Para isso, vamos (a) resolver o sistema
para o núcleo e (b) usar as colunas da matriz de
para a imagem.
Passo 2
O núcleo é dado pelos pares
que satisfazem
isto é, o sistema
Passo 3
Da primeira equação segue
x=-y . Substituindo na segunda:
portanto
x=0 . A terceira equação fica
-0+3cdot0=0 , que confere. Logo
Passo 4
A imagem de
T é o subespaço de
R^3 gerado pelas colunas da matriz de
T na base canônica. Essa matriz é
cuja primeira coluna é
(1,2,-1) e a segunda é
(1,-1,3) .
Passo 5
Verificamos que
(1,2,-1) e
(1,-1,3) não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes e formam uma base de
Im,T . Assim