Verifique se as transformações são lineares:
T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x^2, y+z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x^2,;y+z)
é uma transformação linear. Lembrando que T é linear se, e somente se, para todo u,vinR^3 e todo escalar lambda, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(lambda u)=lambda,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Vamos testar a aditividade. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v) =l((x1+x2)^2,;(y1+y2)+(z1+z2)r) =l(x1^2+2x1x2+x2^2,;y1+y2+z1+z2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v) =l(x1^2,;y1+z1r)+l(x2^2,;y2+z2r) =l(x1^2+x2^2,;y1+y2+z1+z2r)
Como em geral
x1^2+2x1x2+x2^2 neq x1^2 + x2^2,
vemos que T(u+v)neq T(u)+T(v). Logo, a aditividade falha.

Passo 3

Para reforçar, vamos testar a homogeneidade. Seja lambdainR e u=(x,y,z). Então
T(lambda u) =T(lambda x,lambda y,lambda z) =l((lambda x)^2,;lambda y+lambda zr) =l(lambda^2 x^2,;lambda(y+z)r)
Em contrapartida,
lambda,T(u) =lambda,(x^2,;y+z) =l(lambda x^2,;lambda(y+z)r)
Como para lambdaneq0,1 e xneq0 temos lambda^2x^2neqlambda x^2, a homogeneidade também não se mantém.

Passo 4

Não satisfazemos nem a aditividade nem a homogeneidade, portanto T não é linear.

Resposta

T não é linear.

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