Verifique se as transformações são lineares:
T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x, 2 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(x,2y)
é uma transformação linear. Para isso, vamos checar as duas condições de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Aditividade. Dados u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em R^3, temos
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
então
T(u+v) =(,x1+x2,;2(y1+y2),) =(x1,2y1)+(x2,2y2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Homogeneidade. Para um escalar c e u=(x,y,z),
cu=(cx,,cy,,cz),
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T(cu) =(,cx,;2(cy),) =(cx,,ccdot2y) =c,(x,2y) =c,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto T(u+v)=T(u)+T(v) quanto T(cu)=c,T(u), concluímos que T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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