Seja o operador linear de definido por , onde . Determine N(T) e uma base para Im(T).
Passo 1
O enunciado define o operador linear
Tcolon M2times 2(R) to M2times 2(R), T(X) = B,X,
onde
B = 1 & 0[4pt]2 & -1
O conteúdo é estudar núcleo e imagem de uma transformação dada por multiplicação à esquerda por uma matriz. Para isso vamos usar as propriedades de invertibilidade de B.]
Passo 2
Calculamos o determinante de B:
det(B) = (1)(-1) - (0)(2) = -1 neq 0
Como det(B)neq0, a matriz B é inversível.
Passo 3
Para achar o núcleo, escrevemos T(X)=0 como
B,X = 02times2
Seja X=[v1mid v2] com v1,v2inR^2 as colunas de X. Então
B,v1 = 0, B,v2 = 0
Mas como B é inversível, a única solução de B,v=0 é v=0. Logo v1=v2=0 e X=02times2. Portanto
N(T) = ,02times2
Passo 4
Para a imagem, dado um Yin M2times2(R) queremos um X tal que B,X = Y. Como B é inversível, basta tomar
X = B^-1,Y,
pois então
T(X)=B,(B^-1Y)=Y
Isso mostra que T é sobrejetiva e
Im(T) = M2times2(R)
Uma base conveniente de Im(T) é a base padrão de M2times2(R):
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Resposta
N(T)= 02times2.
Uma base de Im(T) é E11,E12,E21,E22.