Indique a lei de T^-1 para cada uma das transformações lineares abaixo:
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(y,-x);

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear Tcolon R^2 to R^2 definida por
T(x,y) = (y, -x)
Queremos encontrar a lei de T^-1, isto é, expressar o vetor original em função da sua imagem.

Passo 2

Para ver que T é invertível, montamos a matriz de T na base canônica:
A = 0 & 1 -1 & 0
O determinante é
det(A) = 0cdot 0 - 1cdot(-1) = 1 neq 0,
portanto A (e T) é invertível.

Passo 3

Podemos também achar a inversa solucionando
T(x,y) = (u,v) iff (y, -x) = (u,v)
Daí y = u e -x = v, logo
x = -v, y = u
Isso mostra que
T^-1(u,v) = (-v,,u)

Resposta

T^-1(x,y) = (-y,,x)

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