Calcule numericamente e especifique se os limites existem
lim x 0 cos 1x=(11x+1) cdot cos (1x)

Passo 1

O enunciado pede dois limites quando xto0:
limxto0cos!l(tfrac1xr) e
limxto0l(tfrac11x+1r)cos!l(tfrac1xr).
O conteúdo envolve limites de funções oscilatórias e uso do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Analisando limxto0cos!l(tfrac1xr):
a função cos(t) oscila entre -1 e 1 quando ttopminfty. Para ver que não há limite, basta tomar duas sequências xnto0 que façam 1/xn atingir valores onde o cosseno assume valores distintos:
xn = 12pi nimplies cos!l(tfrac1xnr)=cos(2pi n)=1,
yn = 1(2n+1)piimplies cos!l(tfrac1ynr)=cosl((2n+1)pir)=-1
Como essas subsequências têm limites diferentes ( 1 e -1),
limxto0cos!l(tfrac1xr) não existe.

Passo 3

Agora considere
g(x)=l(tfrac11x+1r)cos!l(tfrac1xr)
Primeiro reescrevemos o fator racional:
1tfrac1x+1 =11+xx =x1+x
Logo
g(x)=x1+x,cos!l(tfrac1xr)
Observe que l|cos(tfrac1x)r|<=1, então
l|g(x)r| =l|x1+xr|;l|cos(tfrac1x)r| <= l|x1+xr|
Como limxto0tfracx1+x=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0g(x)=0.

Resposta

limxto0cos!l(tfrac1xr) não existe.
limxto0l(tfrac11x+1r)cos!l(tfrac1xr)=0.

Exercícios relacionados