Nos Problemas 1-8, determine a de contorno dadas.
l partial upartial x|x=0=0, partial upartial x|x=a=0 u(x, 0)=x, u(x, b)=0

Passo 1

O enunciado trata da equação de Laplace em um retângulo [0,a]times[0,b], isto é, queremos achar u(x,y) tal que
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0,
com as condições de contorno
partial upartial x|x=0=0, partial upartial x|x=a=0,
u(x,0)=x, u(x,b)=0
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de cossenos para respeitar as condições de Neumann em x=0,a.

Passo 2

Como as condições em x são partial u/partial x=0 em x=0,a, as funções próprias em x são
cos!l(tfracnpiaxr), n=0,1,2,dots
Logo escrevemos
u(x,y) =A0(y)2 +sumn=1^inftyAn(y),cos!l(tfracnpiaxr)
Substituindo na Laplace gera, para cada n>=1,
An''(y)-l(tfracnpiar)^2An(y)=0,
e para o modo n=0,
A0''(y)=0

Passo 3

Resolvendo o modo n=0:
A0(y)=C+Dy
Como A0(0)=2,umédia em y=0=2cdot1a!integral0^a x,dx=aé e A0(b)=2cdot0=0, obtemos
A0(y)=al(1-ybr)

Passo 4

Para n>=1, a solução geral é
An(y)=alphan e^,npi y/a+betan e^-,npi y/a
Impondo An(b)=0 e An(0)=An^0, temos a forma simplificada
An(y) =An^0, sinh!l(tfracnpia(b-y)r) sinh!l(tfracnpiabr)

Passo 5

Agora impomos u(x,0)=x. Isto dá
A0(0)2+sumn=1^infty An(0)cos!l(tfracnpiaxr)=x
Já sabemos A0(0)/2=a/2. Os coeficientes para n>=1 são
An(0) =2aintegral0^axcos!l(tfracnpiaxr),dx =2an^2pi^2l[(-1)^n-1r]

Passo 6

Substituindo tudo em u(x,y) obtemos
u(x,y)=a2l(1-ybr) +sumn=1^infty 2an^2pi^2l[(-1)^n-1r], sinh!l(tfracnpia(b-y)r) sinh!l(tfracnpiabr) cos!l(tfracnpiaxr)
Observando que (-1)^n-1 anula termos pares e vale -2 para n ímpar, podemos reescrever como série só em n=2k+1.

Resposta

u(x,y) =a2l(1-ybr) -4api^2 sumk=0^infty1(2k+1)^2 , sinh!l(tfrac(2k+1)pia(b-y)r) sinh!l(tfrac(2k+1)piabr) cos!l(tfrac(2k+1)piaxr)

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