Nos Problemas 1-8, determine a de contorno dadas.
Passo 1
O enunciado trata da equação de Laplace em um retângulo
[0,a]times[0,b] , isto é, queremos achar
u(x,y) tal que
com as condições de contorno
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de cossenos para respeitar as condições de Neumann em
x=0,a .
Passo 2
Como as condições em
x são
partial u/partial x=0 em
x=0,a , as funções próprias em
x são
Logo escrevemos
Substituindo na Laplace gera, para cada
n>=1 ,
e para o modo
n=0 ,
Passo 3
Resolvendo o modo
n=0 :
Como
A0(0)=2,umédia em y=0=2cdot1a!integral0^a x,dx=a é e
A0(b)=2cdot0=0 , obtemos
Passo 4
Para
n>=1 , a solução geral é
Impondo
An(b)=0 e
An(0)=An^0 , temos a forma simplificada
Passo 5
Agora impomos
u(x,0)=x . Isto dá
Já sabemos
A0(0)/2=a/2 . Os coeficientes para
n>=1 são
Passo 6
Substituindo tudo em
u(x,y) obtemos
Observando que
(-1)^n-1 anula termos pares e vale
-2 para
n ímpar, podemos reescrever como série só em
n=2k+1 .