Nos Problemas 1-8, determine a de contorno dadas.
u(0, y) & =0, & u(a, y) & =0 u(x, 0) & =0, & u(x, b) & =f(x)

Passo 1

Temos o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo 0<x<a,;0<y<b, com contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=0, u(x,0)=0, u(x,b)=f(x)
O conteúdo é separação de variáveis e expansão em série de Fourier senoidal.

Passo 2

Procuramos solução do tipo
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em ,uxx+uyy=0 e dividindo por XY obtém-se
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) =0,
cada termo deve ser constante -lambda e +lambda. Assim
X'' + lambda X=0, Y'' - lambda Y=0

Passo 3

Das condições X(0)=0 e X(a)=0 surgem os autovalores
lambdan = l(tfracnpiar)^2, n=1,2,dots,
e as autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xar)

Passo 4

Para cada lambdan a equação de Y é
Yn'' - l(tfracnpiar)^2 Yn=0,
com Yn(0)=0 (pois u(x,0)=0), o que dá
Yn(y)=Ansinh!l(tfracnpi yar)

Passo 5

A solução geral é soma dos modos
u(x,y)=sumn=1^inftyCn,sin!l(tfracnpi xar), sinh!l(tfracnpi yar)
Impondo u(x,b)=f(x) e usando a ortogonalidade de sin(npi x/a) resulta
Cn =2a,sinh!l(tfracnpi bar) integral0^af(xi), sin!l(tfracnpi xiar),dxi

Resposta

boxed u(x,y) =sumn=1^infty gl[ 2a,sinh!l(tfracnpi bar) integral0^af(xi), sin!l(tfracnpi xiar),dxi gr] sin!l(tfracnpi xar), sinh!l(tfracnpi yar)

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