Calcule numericamente a integral
I=\int_{2}^{3}\{\cos (x)-\ln (x)\} d x
usando os métodos
(a) integração direta
(b) integração por parábolas.
Divida o intervalo 2 \leq x \leq 3 em 6 pontos igualmente espaçados.
Resposta analítica: -1.67771992365 . ..

Passo 1

O enunciado pede para calcular numericamente a integral
I=\int_{2}^{3}\{\cos(x)-\ln(x)\}\,dx
usando duas abordagens: (a) integração direta; (b) integração por parábolas. Foi pedido que o intervalo 2\le x\le3 seja dividido em 6 pontos igualmente espaçados. Informações relevantes dadas:
\text{intervalo: }[2,3],\qquad \text{número de pontos: }6.ú
Com 6 pontos igualmente espaçados os nós serão
x_0=2{,}0,\; x_1=2{,}2,\; x_2=2{,}4,\; x_3=2{,}6,\; x_4=2{,}8,\; x_5=3{,}0,
portanto o passo é
h=\frac{3-2}{5}=0{,}2.
As duas respostas pedidas são a aproximação pela integração direta e pela integração por parábolas (Simpson). A resolução começa agora.

Passo 2

Parte (a) — integração direta: vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=\cos(x)-\ln(x) e avaliar nos extremos. Relembrando primitivas básicas:
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.
Para \int \ln(x)\,dx usamos integração por partes. Se escolhermos u=\ln(x) e dv=dx, então du=\frac{1}{x}dx e v=x. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
Aplicando:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x)-\int 1\,dx = x\ln(x)-x + C.
Logo uma primitiva de f é
F(x)=\sin(x)-\bigl(x\ln(x)-x\bigr)=\sin(x)-x\ln(x)+x.
A integral definida é
I=F(3)-F(2)=\bigl(\sin(3)-3\ln(3)+3\bigr)-\bigl(\sin(2)-2\ln(2)+2\bigr).

Passo 3

Continuando (a): vamos calcular numericamente cada termo com precisão suficiente. Valores numéricos (em radianos):
\sin(3)\approx 0{,}1411200080598672,\qquad \sin(2)\approx 0{,}9092974268256817,
\ln(3)\approx 1{,}0986122886681098,\qquad \ln(2)\approx 0{,}6931471805599453.
Substituindo em I:
I=\sin(3)-\sin(2)-3\ln(3)+2\ln(2)+1.
Agora calculemos passo a passo:
\sin(3)-\sin(2)\approx 0{,}1411200080598672-0{,}9092974268256817=-0{,}7681774187658145,
-3\ln(3)+2\ln(2)+1\approx -3\cdot 1{,}0986122886681098 + 2\cdot 0{,}6931471805599453 +1
\quad = -3{,}2958368660043294 +1{,}3862943611198906 +1 = -0{,}9095425048844388.
Somando as duas partes:
I\approx -0{,}7681774187658145 + (-0{,}9095425048844388) = -1{,}6777199236502533.

Passo 4

Conclusão da parte (a): a integração direta (exata seguida de avaliação numérica) fornece
I\approx -1{,}6777199236502533,
que coincide com a resposta analítica fornecida. Agora vamos para a parte (b).

Passo 5

Parte (b) — integração por parábolas: normalmente “integração por parábolas” refere-se à regra de Simpson (Simpson 1/3) composta. A fórmula composta de Simpson para um número par n de subintervalos (com passo h) é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k})\Bigr].
Importante: essa fórmula exige que n (número de subintervalos) seja par. No nosso caso, com 6 pontos temos 5 subintervalos ( n=5), que é ímpar, logo não podemos aplicar Simpson composto diretamente em todo o intervalo usando só os 6 pontos. Para obedecer ao enunciado (usar exatamente os 6 pontos), uma escolha natural e simples é:
  • aplicar Simpson composto nos primeiros 4 subintervalos ( x_0 a x_4, onde aí n=4 é par), e
  • aproximar o último subintervalo ( x_4 a x_5) por uma regra simples (por exemplo, o trapézio) usando os pontos x_4,x_5.
    Essa combinação usa exatamente os 6 pontos pedidos e incorpora “integração por parábolas” na maior parte do intervalo. Vou seguir essa escolha e calcular.

Passo 6

Compute f(x)=\cos(x)-\ln(x) nos 6 nós x_0,\dots,x_5. Já definimos h=0{,}2 e os nós:
x_0=2{,}0,\; x_1=2{,}2,\; x_2=2{,}4,\; x_3=2{,}6,\; x_4=2{,}8,\; x_5=3{,}0.
Agora os valores f_i=f(x_i):
\begin{aligned} f_0&= \cos(2{,}0)-\ln(2{,}0)\approx -0{,}4161468365471424-0{,}6931471805599453=-1{,}1092940171070877,\\\ f_1&= \cos(2{,}2)-\ln(2{,}2)\approx -0{,}5885011172553458-0{,}7884573603642703=-1{,}3769584776196161,\\\ f_2&= \cos(2{,}4)-\ln(2{,}4)\approx -0{,}7373937155412454-0{,}8754687373538999=-1{,}6128624528951453,\\\ f_3&= \cos(2{,}6)-\ln(2{,}6)\approx -0{,}8568855294870973-0{,}9555114450274363=-1{,}8123969745145336,\\\ f_4&= \cos(2{,}8)-\ln(2{,}8)\approx -0{,}9422223406686581-1{,}0296194171811570=-1{,}9718417578498151,\\\ f_5&= \cos(3{,}0)-\ln(3{,}0)\approx -0{,}9899924966004454-1{,}0986122886681098=-2{,}0886047852685552. \end{aligned}

Passo 7

Aplicando Simpson composto nos primeiros 4 subintervalos ( x_0 a x_4, com n=4 e h=0{,}2):
\int_{x_0}^{x_4} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0+f_4+4(f_1+f_3)+2(f_2)\Bigr].
Calculemos as somas internas:
f_0+f_4 = -1{,}1092940171070877 + (-1{,}9718417578498151) = -3{,}0811357749569028,
4(f_1+f_3) = 4\bigl(-1{,}3769584776196161 + (-1{,}8123969745145336)\bigr) = 4(-3{,}1893554521341497) = -12{,}7574218085365988,
2(f_2) = 2(-1{,}6128624528951453) = -3{,}2257249057902906.
Somando tudo dentro dos colchetes:
\text{colchete} = -3{,}0811357749569028 -12{,}7574218085365988 -3{,}2257249057902906 = -19{,}0642824892837922.
Multiplicando por h/3=0{,}2/3=0{,}066\overline{6}:
\int_{x_0}^{x_4} f(x)\,dx \approx \frac{0{,}2}{3}\cdot(-19{,}0642824892837922) \approx -1{,}2709521662855861.

Passo 8

Para o último subintervalo [x_4,x_5]=[2{,}8,3{,}0] usamos a regra do trapézio (pois resta um único subintervalo):
\int_{x_4}^{x_5} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f_4+f_5\bigr) = \frac{0{,}2}{2}\bigl(-1{,}9718417578498151 + (-2{,}0886047852685552)\bigr).
Calcule:
f_4+f_5 = -4{,}0604465431183703,
\int_{x_4}^{x_5} f(x)\,dx \approx 0{,}1\cdot(-4{,}0604465431183703) = -0{,}4060446543118370.

Passo 9

Somando a contribuição de Simpson (primeiros 4 subintervalos) e do trapézio (último subintervalo) obtemos a aproximação total usando os 6 pontos:
I_{\text{aprox}} \approx -1{,}2709521662855861 + (-0{,}4060446543118370) = -1{,}6769968205974231.
Comparando com o valor exato calculado em (a):
\text{erro absoluto} \approx \bigl| -1{,}6777199236502533 - (-1{,}6769968205974231)\bigr| = 0{,}0007231030528302 \approx 7{,}231\times 10^{-4}.
O erro é pequeno (da ordem de 10^{-4}), o que mostra que a combinação Simpson+trapézio usando os 6 pontos deu uma boa aproximação.

Resposta

(a) -1{,}6777199236502533
(b) -1{,}6769968205974231

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