usando os métodos
(a) integração direta
(b) integração por parábolas.
Divida o intervalo 2 \leq x \leq 3 em 6 pontos igualmente espaçados.
Resposta analítica: -1.67771992365 . ..
Passo 1
O enunciado pede para calcular numericamente a integral
I=\int_{2}^{3}\{\cos(x)-\ln(x)\}\,dx
usando duas abordagens: (a) integração direta; (b) integração por parábolas. Foi pedido que o intervalo 2\le x\le3 seja dividido em 6 pontos igualmente espaçados. Informações relevantes dadas:
\text{intervalo: }[2,3],\qquad \text{número de pontos: }6.
As duas respostas pedidas são a aproximação pela integração direta e pela integração por parábolas (Simpson). A resolução começa agora.
Passo 2
Parte (a) — integração direta: vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=\cos(x)-\ln(x) e avaliar nos extremos. Relembrando primitivas básicas:
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.
Para \int \ln(x)\,dx usamos integração por partes. Se escolhermos u=\ln(x) e dv=dx, então du=\frac{1}{x}dx e v=x. A fórmula de integração por partes é
Conclusão da parte (a): a integração direta (exata seguida de avaliação numérica) fornece
I\approx -1{,}6777199236502533,
que coincide com a resposta analítica fornecida. Agora vamos para a parte (b).
Passo 5
Parte (b) — integração por parábolas: normalmente “integração por parábolas” refere-se à regra de Simpson (Simpson 1/3) composta. A fórmula composta de Simpson para um número par n de subintervalos (com passo h) é
Importante: essa fórmula exige que n (número de subintervalos) seja par. No nosso caso, com 6 pontos temos 5 subintervalos (n=5), que é ímpar, logo não podemos aplicar Simpson composto diretamente em todo o intervalo usando só os 6 pontos. Para obedecer ao enunciado (usar exatamente os 6 pontos), uma escolha natural e simples é:
aplicar Simpson composto nos primeiros 4 subintervalos (x_0 a x_4, onde aí n=4 é par), e
aproximar o último subintervalo (x_4 a x_5) por uma regra simples (por exemplo, o trapézio) usando os pontos x_4,x_5.
Essa combinação usa exatamente os 6 pontos pedidos e incorpora “integração por parábolas” na maior parte do intervalo. Vou seguir essa escolha e calcular.
Passo 6
Compute f(x)=\cos(x)-\ln(x) nos 6 nós x_0,\dots,x_5. Já definimos h=0{,}2 e os nós: