) Considere a função
. Estime o zero da função utilizando o método da falsa posição. Admita os chutes iniciais
e
. Como critério de parada, estabelece-se que
, onde
é a estimativa da raiz no passo
.
Solução:
Chutes iniciais:
Critério de parada:
Passo #1
x[1] = xu - ( f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[1]= 6.00-(-1.823216E-01)*( 6.000000E+00 -(4.500000E+00))/(-1.823216E-01-(1.053605E-01))
x[1] = 5.049359E+00
f(x)*f(xl)=f(5.049359E+00)*f(4.500000E+00)=(-9.823418E-03)*(1.053605E-01)=-1.035000E-03<0
xu= 5.04935913211665
Verificação do Critério de parada:
Passo #2
x[2] = xu - ( f (xu) )*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[2]=5.049359E+00 - (-9.823418E-03 )*(5.049359E+00 - (4.50))/( -9.823418E-03-(1.053605E-01))
x[2] = 5.002507E+00
f(x)*f(xl) = f(5.002507E+00)*f(4.50)=(-5.013236E-04)*(1.053605E-01)= -5.281971E-05 <0
xu= 5.00250724629202
Verificação do Critério de parada: |x[2] - x[1]| = 4.6851885825E-02 \geq 1.00E-04
Passo #3
x[3] = xu - (f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[3]= 5.002507E+00 - (-5.013236E-04 )*(5.002507E+00 - (4.50))/( -5.013236E-04 - (1.053605E-01))
x[3] = 5.000128E+00
f(x)*f(xl)=f(5.000128E+00)*f(4.500000E+00)=(-2.551024E-05)*(1.053605E-01)= -2.687772E-06<0
xu = 5.00012755287645
Verificação do Critério de parada:
Passo #4
Verificação do Critério de parada:
Passo #5
Verificação do Critério de parada:
Solução aproximada:
x[1] = xu - ( f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[1]= 6.00-(-1.823216E-01)*( 6.000000E+00 -(4.500000E+00))/(-1.823216E-01-(1.053605E-01))
x[1] = 5.049359E+00
f(x)*f(xl)=f(5.049359E+00)*f(4.500000E+00)=(-9.823418E-03)*(1.053605E-01)=-1.035000E-03<0
xu= 5.04935913211665
x[2] = xu - ( f (xu) )*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[2]=5.049359E+00 - (-9.823418E-03 )*(5.049359E+00 - (4.50))/( -9.823418E-03-(1.053605E-01))
x[2] = 5.002507E+00
f(x)*f(xl) = f(5.002507E+00)*f(4.50)=(-5.013236E-04)*(1.053605E-01)= -5.281971E-05 <0
xu= 5.00250724629202
Verificação do Critério de parada: |x[2] - x[1]| = 4.6851885825E-02 \geq 1.00E-04
x[3] = xu - (f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[3]= 5.002507E+00 - (-5.013236E-04 )*(5.002507E+00 - (4.50))/( -5.013236E-04 - (1.053605E-01))
x[3] = 5.000128E+00
f(x)*f(xl)=f(5.000128E+00)*f(4.500000E+00)=(-2.551024E-05)*(1.053605E-01)= -2.687772E-06<0
xu = 5.00012755287645
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Passo 1
O enunciado pede para estimar o zero da função
usando o método da falsa posição (regula falsi) com os chutes iniciais
e com critério de parada
Também é importante notar que a função contém
, logo o domínio exige
; os chutes dados satisfazem isso. Aqui estão as informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- função:
; - chute inferior:
; - chute superior:
; - critério de parada: diferença entre estimativas consecutivas menor que
.
Passo 2
Antes de aplicar o método, verificamos que os extremos realmente cercam uma raiz: calculamos
e
.
Como
e
, temos
, ou seja, por continuidade (aqui não preciso provar formalmente), existe pelo menos uma raiz no intervalo
. Portanto o intervalo inicial é válido para o método da falsa posição.
Passo 3
Explicando o método (a ideia e a fórmula): a falsa posição constrói, a cada iteração, a interseção da reta que liga os pontos
e
com o eixo
. Essa interseção é a próxima estimativa da raiz. A fórmula é
O raciocínio prático:
- calcula-se
pela fórmula acima; - avalia-se
; - mantém-se o extremo que tem sinal oposto a
(ou seja, se então a nova bisseção será entre e , atualizando ; caso contrário atualiza-se ); - repete-se até o critério de parada ser atendido.
Agora vamos fazer as iterações e explicar cada cálculo.
Passo 4
Iteração 1:
Usando e
, já calculados
e
.
Aplicando a fórmula:
Usando
Aplicando a fórmula:
Avalia-se
em
:
Verificamos o sinal com
:
portanto a raiz está entre
e
; atualizamos
Critério de parada:
logo continua.
Passo 5
Iteração 2:
Agora ,
, com
e
.
Aplicando a fórmula:
Agora
Aplicando a fórmula:
Avaliação:
Sinal com
:
então atualizamos
Critério:
continua.
Passo 6
Iteração 3:
Com ,
, e valores
,
.
Fórmula:
Com
Fórmula:
Avaliação:
Sinal com
:
então atualizamos
Critério:
continua.
Passo 7
Iteração 4:
Com ,
, e
.
Fórmula:
Com
Fórmula:
Avaliação:
Sinal com
:
então atualizamos
Critério:
ainda não atingimos a tolerância.
Passo 8
Iteração 5:
Com ,
, e
.
Fórmula:
Com
Fórmula:
Avaliação:
Sinal com
:
atualizamos
(mas já atingimos o critério).
Verificação do critério:
Verificação do critério:
Portanto o critério de parada é satisfeito e paramos.
Passo 9
Resumo do que aconteceu (para te ajudar na prova):
- Em todas as iterações
ficou positivo e foi ficando negativo mas aproximando-se de zero (ou seja, foi se aproximando da raiz). Isso é comum na falsa posição: um dos extremos pode ficar fixo (aqui permaneceu ) enquanto o outro converge para a raiz. - A fórmula da falsa posição usa uma reta secante entre os extremos para estimar a raiz; é mais rápida que a bisseção em termos de convergência em muitos casos, mantendo porém a garantia de bracketing (se
e têm sinais opostos). - Para calcular
em cada passo, calcule separadamente e com a precisão necessária e faça a subtração; atenção ao sinal de para decidir qual extremo atualizar.