\mathbf{5}^{\text {a }} ) Considere a função f(x)=\exp (-\mathbf{5 x})-\log (\mathbf{0 . 2 x}). Estime o zero da função utilizando o método da falsa posição. Admita os chutes iniciais x_{l}=4.5 e x_{u}=6. Como critério de parada, estabelece-se que |x[n]-x[n-1]|<10^{-4}, onde x[n] é a estimativa da raiz no passo n.

Solução:

f(x)=\exp (-5 * x)-\log (0.2 * x)
Chutes iniciais:
\mathrm{xl}=4.50=\mathrm{x}[0]
\mathrm{xu}=6.00
Critério de parada: |\mathrm{x}[\mathrm{n}]-\mathrm{x}[\mathrm{n}-1]|<0.0001

Passo #1

x[1] = xu - ( f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) )
x[1]= 6.00-(-1.823216E-01)*( 6.000000E+00 -(4.500000E+00))/(-1.823216E-01-(1.053605E-01))
x[1] = 5.049359E+00
f(x)*f(xl)=f(5.049359E+00)*f(4.500000E+00)=(-9.823418E-03)*(1.053605E-01)=-1.035000E-03<0
xu= 5.04935913211665
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[1]-\mathrm{x}[0]|=5.4935913212 \mathrm{E}-01 \geq 1.00 \mathrm{E}-04

Passo #2

x[2] = xu - ( f (xu) )*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) ) 
x[2]=5.049359E+00 - (-9.823418E-03 )*(5.049359E+00 - (4.50))/( -9.823418E-03-(1.053605E-01))
x[2] = 5.002507E+00
f(x)*f(xl) = f(5.002507E+00)*f(4.50)=(-5.013236E-04)*(1.053605E-01)= -5.281971E-05 <0
xu= 5.00250724629202
Verificação do Critério de parada: |x[2] - x[1]| = 4.6851885825E-02 \geq 1.00E-04

Passo #3

x[3] = xu - (f(xu))*( xu-xl ) / (f(xu) - f(xl) ) 
x[3]= 5.002507E+00 - (-5.013236E-04 )*(5.002507E+00 - (4.50))/( -5.013236E-04 - (1.053605E-01))
x[3] = 5.000128E+00
f(x)*f(xl)=f(5.000128E+00)*f(4.500000E+00)=(-2.551024E-05)*(1.053605E-01)= -2.687772E-06<0
xu = 5.00012755287645
Verificação do Critério de parada: |x[3]-x[2]|=2.3796934156 E-03 \geq 1.00 E-04

Passo #4

x[4]=x u-(f(x u)) *(x u-x l) /(f(x u)-f(x l))
\mathrm{x}[4]=5.000128 \mathrm{E}+00-(-2.551024 \mathrm{E}-05) *(5.000128 \mathrm{E}+00-(4.50)) /(-2.551024 \mathrm{E}-05-(1.053605 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[4]=5.000006 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x}) * \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(5.000006 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(4.500000 \mathrm{E}+00)=(-1.297916 \mathrm{E}-06)^{*}(1.053605 \mathrm{E}-01)=-1.367491 \mathrm{E}-07<0
\mathrm{xu}=5.00000648965402
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[4]-\mathrm{x}[3]|=1.2106322244 \mathrm{E}-04 \geq 1.00 \mathrm{E}-04

Passo #5

x[5]=x u-(f(x u)) *(x u-x l) /(f(x u)-f(x l))
x[5]=5.000006 \mathrm{E}+00-(-1.297916 \mathrm{E}-06) *(5.000006 \mathrm{E}+00-(4.50)) /(-1.297916 \mathrm{E}-06-(1.053605 \mathrm{E}-01))
\mathrm{x}[5]=5.000000 \mathrm{E}+00
\mathrm{f}(\mathrm{x}) * \mathrm{f}(\mathrm{xl})=\mathrm{f}(5.000000 \mathrm{E}+00) * \mathrm{f}(4.500000 \mathrm{E}+00)=(-6.603520 \mathrm{E}-08) *(1.053605 \mathrm{E}-01)=-6.957502 \mathrm{E}-09<0
\mathrm{xu}=5.00000033024543
Verificação do Critério de parada: |x[5]-x[4]|=6.1594085805 E-06<1.00 E-04
Solução aproximada: \boldsymbol{x}=\mathbf{5 . 0 0 0 0 0 0 3 3 0 2 4 5 4 3}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o zero da função
f(x)=\exp(-5x)-\log(0{,}2x)
usando o método da falsa posição (regula falsi) com os chutes iniciais
x_l=4{,}5,\qquad x_u=6{,}0
e com critério de parada
|x[n]-x[n-1]|<10^{-4}.
Também é importante notar que a função contém \log(0{,}2x), logo o domínio exige x>0; os chutes dados satisfazem isso. Aqui estão as informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • função: f(x)=\exp(-5x)-\log(0{,}2x);
  • chute inferior: x_l=4{,}5;
  • chute superior: x_u=6{,}0;
  • critério de parada: diferença entre estimativas consecutivas menor que 10^{-4}.

Passo 2

Antes de aplicar o método, verificamos que os extremos realmente cercam uma raiz: calculamos f(x_l) e f(x_u).
f(4{,}5)=\exp(-5\cdot 4{,}5)-\log(0{,}2\cdot 4{,}5)\approx 0{,}1053605
f(6{,}0)=\exp(-5\cdot 6{,}0)-\log(0{,}2\cdot 6{,}0)\approx -0{,}1823216
Como f(4{,}5)>0 e f(6{,}0)<0, temos f(x_l)\cdot f(x_u)<0, ou seja, por continuidade (aqui não preciso provar formalmente), existe pelo menos uma raiz no intervalo [4{,}5,6{,}0]. Portanto o intervalo inicial é válido para o método da falsa posição.

Passo 3

Explicando o método (a ideia e a fórmula): a falsa posição constrói, a cada iteração, a interseção da reta que liga os pontos (x_l,f(x_l)) e (x_u,f(x_u)) com o eixo x. Essa interseção é a próxima estimativa da raiz. A fórmula é
x_{\text{new}} = x_u - \frac{f(x_u)\,(x_u-x_l)}{f(x_u)-f(x_l)}.
O raciocínio prático:
  • calcula-se x_{\text{new}} pela fórmula acima;
  • avalia-se f(x_{\text{new}});
  • mantém-se o extremo que tem sinal oposto a f(x_{\text{new}}) (ou seja, se f(x_{\text{new}})\cdot f(x_l)<0 então a nova bisseção será entre x_l e x_{\text{new}}, atualizando x_u\leftarrow x_{\text{new}}; caso contrário atualiza-se x_l\leftarrow x_{\text{new}});
  • repete-se até o critério de parada ser atendido.
    Agora vamos fazer as iterações e explicar cada cálculo.

Passo 4

Iteração 1:
Usando x_l=4{,}5 e x_u=6{,}0, já calculados f(4{,}5)\approx 0{,}1053605 e f(6{,}0)\approx -0{,}1823216.
Aplicando a fórmula:
x[1]=6{,}0-\frac{(-0{,}1823216)\,(6{,}0-4{,}5)}{-0{,}1823216-0{,}1053605}\approx 5{,}049359.
Avalia-se f em x[1]:
f(5{,}049359)\approx -0{,}009823418.
Verificamos o sinal com f(x_l):
f(5{,}049359)\cdot f(4{,}5)\approx (-0{,}009823418)\cdot 0{,}1053605<0,
portanto a raiz está entre x_l e x[1]; atualizamos
x_u\leftarrow x[1]=5{,}049359.
Critério de parada:
|x[1]-x[0]|=|5{,}049359-4{,}5|=0{,}549359\ge 10^{-4},
logo continua.

Passo 5

Iteração 2:
Agora x_l=4{,}5, x_u=5{,}049359, com f(4{,}5)\approx 0{,}1053605 e f(5{,}049359)\approx -0{,}009823418.
Aplicando a fórmula:
x[2]=5{,}049359-\frac{(-0{,}009823418)\,(5{,}049359-4{,}5)}{-0{,}009823418-0{,}1053605}\approx 5{,}002507.
Avaliação:
f(5{,}002507)\approx -0{,}0005013236.
Sinal com f(4{,}5):
f(5{,}002507)\cdot f(4{,}5)\approx (-0{,}0005013236)\cdot 0{,}1053605<0,
então atualizamos
x_u\leftarrow x[2]=5{,}002507.
Critério:
|x[2]-x[1]|=|5{,}002507-5{,}049359|=0{,}04685188\ge 10^{-4},
continua.

Passo 6

Iteração 3:
Com x_l=4{,}5, x_u=5{,}002507, e valores f(4{,}5)\approx 0{,}1053605, f(5{,}002507)\approx -0{,}0005013236.
Fórmula:
x[3]=5{,}002507-\frac{(-0{,}0005013236)\,(5{,}002507-4{,}5)}{-0{,}0005013236-0{,}1053605}\approx 5{,}000128.
Avaliação:
f(5{,}000128)\approx -0{,}00002551024.
Sinal com f(4{,}5):
f(5{,}000128)\cdot f(4{,}5)<0,
então atualizamos
x_u\leftarrow x[3]=5{,}000128.
Critério:
|x[3]-x[2]|=|5{,}000128-5{,}002507|=0{,}002379693\ge 10^{-4},
continua.

Passo 7

Iteração 4:
Com x_l=4{,}5, x_u=5{,}000128, e f(5{,}000128)\approx -2{,}551024\times 10^{-5}.
Fórmula:
x[4]=5{,}000128-\frac{(-2{,}551024\times 10^{-5})\,(5{,}000128-4{,}5)}{-2{,}551024\times 10^{-5}-0{,}1053605}\approx 5{,}000006.
Avaliação:
f(5{,}000006)\approx -1{,}297916\times 10^{-6}.
Sinal com f(4{,}5):
f(5{,}000006)\cdot f(4{,}5)<0,
então atualizamos
x_u\leftarrow x[4]=5{,}000006.
Critério:
|x[4]-x[3]|=|5{,}000006-5{,}000128|=0{,}0001210632\ge 10^{-4},
ainda não atingimos a tolerância.

Passo 8

Iteração 5:
Com x_l=4{,}5, x_u=5{,}000006, e f(5{,}000006)\approx -1{,}297916\times 10^{-6}.
Fórmula:
x[5]=5{,}000006-\frac{(-1{,}297916\times 10^{-6})\,(5{,}000006-4{,}5)}{-1{,}297916\times 10^{-6}-0{,}1053605}\approx 5{,}00000033024543.
Avaliação:
f(5{,}00000033024543)\approx -6{,}603520\times 10^{-8}.
Sinal com f(4{,}5):
f(5{,}00000033024543)\cdot f(4{,}5)<0,
atualizamos x_u\leftarrow x[5] (mas já atingimos o critério).
Verificação do critério:
|x[5]-x[4]|=|5{,}00000033024543-5{,}000006|\approx 6{,}159408\times 10^{-6}<10^{-4}.
Portanto o critério de parada é satisfeito e paramos.

Passo 9

Resumo do que aconteceu (para te ajudar na prova):
  • Em todas as iterações f(x_l) ficou positivo e f(x_u) foi ficando negativo mas aproximando-se de zero (ou seja, x_u foi se aproximando da raiz). Isso é comum na falsa posição: um dos extremos pode ficar fixo (aqui x_l permaneceu 4{,}5) enquanto o outro converge para a raiz.
  • A fórmula da falsa posição usa uma reta secante entre os extremos para estimar a raiz; é mais rápida que a bisseção em termos de convergência em muitos casos, mantendo porém a garantia de bracketing (se f(x_l) e f(x_u) têm sinais opostos).
  • Para calcular f(x)=\exp(-5x)-\log(0{,}2x) em cada passo, calcule separadamente \exp(-5x) e \log(0{,}2x) com a precisão necessária e faça a subtração; atenção ao sinal de f para decidir qual extremo atualizar.

Resposta

x\approx 5{,}00000033024543

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