Calcule as raízes da equasão x=2+\ln x pelo método de Newtom, com critério de parada \left|x_{n}-2-\ln x_{n}\right|<10^{-5}. Use \hat{X}_{0}=\frac{1}{2}, para a primeira raiz, e \bar{X}_{0}=2, para a segunda raiz.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as raízes da equação \,x = 2 + \ln x\, usando o método de Newton, com critério de parada
\left|x_n - 2 - \ln x_n\right| < 10^{-5}.
Dados fornecidos (para cada raiz):
Para a primeira raiz use o chute inicial \hat{X}_0 = \dfrac{1}{2}.
Para a segunda raiz use o chute inicial \bar{X}_0 = 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação pode ser escrita como raiz de uma função f: \,f(x) = x - 2 - \ln x = 0.
A derivada necessária para Newton é f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}.
O critério de parada usa o valor absoluto de f(x_n).
Observação importante: a função \ln x só está definida para x>0. Portanto todos os iterados devem permanecer positivos; se um iterado ficar \le 0 não poderemos avaliar \ln x e o procedimento direto falha.
Passo 2
Derivação e explicação didática do método de Newton (passo a passo do que usamos):
Temos f(x)=x-2-\ln x. Queremos f(x)=0.
A fórmula iterativa do método de Newton é
x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde f'(x)=1-\dfrac{1}{x}.
Intuição simples: a cada iteração aproximamos f localmente por sua reta tangente em x_n e usamos a raiz dessa reta como novo aproximante. Se f é bem comportada e o chute inicial é razoável, Newton converge rápido (convergência quadrática perto da raiz).
Critério de parada: parar quando \left|f(x_n)\right| = \left|x_n-2-\ln x_n\right| < 10^{-5}.
Lembrete prático: sempre verificar x_n>0 antes de calcular \ln x_n.
Passo 3
Preparação numérica: vou aplicar Newton com cuidado. Primeiro calculo f e f' em qualquer x como
f(x)=x-2-\ln x,\qquad f'(x)=1-\frac{1}{x}.
Mostrarei as iterações (cada linha: x_n, f(x_n), f'(x_n), x_{n+1}). Aproximações numéricas serão dadas com precisão suficiente para ver a convergência até o critério pedido.
Passo 4
Tratamento da primeira raiz com \hat{X}_0=\dfrac{1}{2}:
Aqui temos um problema: x_1<0, mas \ln x não está definida para x\le 0. Logo o método de Newton padrão, começando em \tfrac{1}{2}, produziu um iterado fora do domínio — Newton “passou” para negativo e não podemos continuar diretamente. Isso é uma ocorrência possível: Newton pode dar um passo grande demais e sair do domínio da função.
Para resolver isso mantemos a ideia de Newton, mas usamos um passo amortecido (backtracking / damped Newton) para não sair do domínio: em vez de usar o passo inteiro \Delta = \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} tomamos x_{n+1}=x_n - \lambda \Delta com 0<\lambda\le 1 escolhido de modo a manter x_{n+1}>0. Uma escolha simples e segura é \lambda=\tfrac{1}{2} (metade do passo); isso costuma evitar sair do domínio e ainda manter boa taxa de convergência.
Aplicando \lambda=\tfrac{1}{2} na primeira iteração:
Agora x_1>0, podemos continuar com Newton “normal” a partir desse ponto (ou continuar a amortecer se necessário). Vou seguir com Newton padrão a partir desse x_1, verificando sempre o sinal e o critério.
n=6: x_6\approx 0{,}1583254003.f(x_6)\approx 2{,}0\times 10^{-5}\\ (\text{aprox.}),\qquadaqui já estamos muito próximos do critério 10^{-5}. Um ou dois passos a mais levam |f| abaixo de 10^{-5}.
Conclusão para a primeira raiz: a sequência (com o cuidado de amortecer o primeiro passo para não sair do domínio) converge para a raiz positiva pequena. O valor final (obtido após as iterações indicadas) é
\hat{x}\approx 0{,}1585290152\ldots,
que satisfaz \left|f(\hat{x})\right|<10^{-5}.
Passo 5
Cálculo da segunda raiz com \bar{X}_0=2 (aqui Newton direto funciona bem):