Calcule o número complexo:
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular (ou seja, escrever
na forma
). Informações relevantes do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Objetivo: simplificar a fração e obter a forma
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): para dividir dois números complexos na forma
por
usamos o conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo
é
. A razão é que
que é um número real positivo (quando
e
não são ambos zero). Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador eliminamos a parte imaginária no denominador e obtemos uma expressão na forma
.
Passo 3
Aplicar isso ao nosso caso: o denominador é
, cujo conjugado é
. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado:
Passo 4
Calcular o denominador (usando
com
e
):
Passo 5
Calcular o numerador expandindo produto passo a passo:
Agora cada termo:
-
. -
. -
. -
.
Somando as partes reais e imaginárias:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Logo o numerador é
Passo 6
Dividir numerador pelo denominador
:
Fatorando
para ficar mais compacto:
Passo 7
Breve interpretação final: agora
está na forma
com
Se quiser, dá para checar multiplicando
por
e verificar que volta a dar
.