Calcule o número complexo:
z=\frac{-3+3 i}{1+i \sqrt{3}}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=\frac{-3+3i}{1+i\sqrt{3}}
e pede para calcular (ou seja, escrever z na forma a+bi). Informações relevantes do enunciado:
  • Numerador: -3+3i.
  • Denominador: 1+i\sqrt{3}.
  • Objetivo: simplificar a fração e obter a forma a+bi.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): para dividir dois números complexos na forma a+bi por c+di usamos o conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo c+di é c-di. A razão é que
(c+di)(c-di)=c^2+d^2
que é um número real positivo (quando c e d não são ambos zero). Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador eliminamos a parte imaginária no denominador e obtemos uma expressão na forma a+bi.

Passo 3

Aplicar isso ao nosso caso: o denominador é 1+i\sqrt{3}, cujo conjugado é 1-i\sqrt{3}. Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado:
z=\frac{(-3+3i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}.

Passo 4

Calcular o denominador (usando a^2+b^2 com a=1 e b=\sqrt{3}):
(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4.

Passo 5

Calcular o numerador expandindo produto passo a passo:
(-3+3i)(1-i\sqrt{3}) = -3\cdot1 + (-3)\cdot(-i\sqrt{3}) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i\sqrt{3}).
Agora cada termo:
  • -3\cdot1 = -3.
  • (-3)\cdot(-i\sqrt{3}) = 3i\sqrt{3}.
  • 3i\cdot1 = 3i.
  • 3i\cdot(-i\sqrt{3}) = -3i^2\sqrt{3} = -3(-1)\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Somando as partes reais e imaginárias:
  • Parte real: -3 + 3\sqrt{3}.
  • Parte imaginária: 3i + 3i\sqrt{3} = i(3+3\sqrt{3}).
Logo o numerador é
-3+3\sqrt{3}+i(3+3\sqrt{3}).

Passo 6

Dividir numerador pelo denominador 4:
z=\frac{-3+3\sqrt{3}}{4} + i\frac{3+3\sqrt{3}}{4}.
Fatorando 3/4 para ficar mais compacto:
z=\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}-1\bigr) + i\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}+1\bigr).

Passo 7

Breve interpretação final: agora z está na forma a+bi com
a=\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}-1\bigr),\qquad b=\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}+1\bigr).
Se quiser, dá para checar multiplicando z por 1+i\sqrt{3} e verificar que volta a dar -3+3i.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}-1\bigr)+i\frac{3}{4}\bigl(\sqrt{3}+1\bigr)

Exercícios relacionados