Calcule o número complexo:
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o número complexo
Informações dadas:
- O numerador é
(a unidade imaginária, com ). - O denominador é
. - Precisa-se simplificar essa fração e elevar ao expoente
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a fração
. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter um denominador real. O conjugado de
é
. Então:
Agora calculamos numerador e denominador separadamente.
Passo 3
Calcule o denominador:
Calcule o numerador:
Portanto
Explicação curta do porquê: multiplicar pelo conjugado elimina a parte imaginária no denominador porque
, que é real.
Passo 4
Substituindo na expressão original,
Agora precisamos calcular
. Para potências de complexos é muito conveniente usar a forma polar (ou a fórmula de De Moivre).
Passo 5
Encontrar módulo e argumento de
:
- Módulo:
- Argumento (ângulo):
(porque está no primeiro quadrante com mesma componente real e imaginária).
Então escrevemos
Aplicando a potência
(fórmula de De Moivre / propriedades da exponencial complexa):
Passo 6
Converter
para forma trigonométrica e calcular a multiplicação:
e sabe-se que
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 7
Voltar à expressão de
:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para sua confiança): poderia também expandir
pela fórmula binomial e usar
para chegar ao mesmo resultado
. Ambos os métodos dão o mesmo número final.