Calcule o número complexo:
z=\left(\frac{i}{1+i}\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o número complexo
z=\left(\frac{i}{1+i}\right)^{5}.
Informações dadas:
  • O numerador é i (a unidade imaginária, com i^{2}=-1).
  • O denominador é 1+i.
  • Precisa-se simplificar essa fração e elevar ao expoente 5.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a fração \dfrac{i}{1+i}. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter um denominador real. O conjugado de 1+i é 1-i. Então:
\frac{i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}.
Agora calculamos numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Calcule o denominador:
(1+i)(1-i)=1-i^{2}=1-(-1)=2.
Calcule o numerador:
i(1-i)=i-i^{2}=i-(-1)=1+i.
Portanto
\frac{i}{1+i}=\frac{1+i}{2}.
Explicação curta do porquê: multiplicar pelo conjugado elimina a parte imaginária no denominador porque (a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}, que é real.

Passo 4

Substituindo na expressão original,
z=\left(\frac{1+i}{2}\right)^{5}=\frac{(1+i)^{5}}{2^{5}}=\frac{(1+i)^{5}}{32}.
Agora precisamos calcular (1+i)^{5}. Para potências de complexos é muito conveniente usar a forma polar (ou a fórmula de De Moivre).

Passo 5

Encontrar módulo e argumento de 1+i:
  • Módulo: |1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento (ângulo): \arg(1+i)=\pi/4 (porque 1+i está no primeiro quadrante com mesma componente real e imaginária).
Então escrevemos
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
Aplicando a potência 5 (fórmula de De Moivre / propriedades da exponencial complexa):
(1+i)^{5}=(\sqrt{2})^{5}e^{i5\pi/4}=2^{5/2}e^{i5\pi/4}.

Passo 6

Converter e^{i5\pi/4} para forma trigonométrica e calcular a multiplicação:
e^{i5\pi/4}=\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)
e sabe-se que
\cos\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando por 2^{5/2}:
2^{5/2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)= -\,\frac{2^{5/2}\sqrt{2}}{2} = -\,\frac{2^{5/2+1/2}}{2} = -\,\frac{2^{3}}{2} = -4.
Portanto
(1+i)^{5}=-4-4i.

Passo 7

Voltar à expressão de z:
z=\frac{(1+i)^{5}}{32}=\frac{-4-4i}{32}=-\frac{4}{32}-\frac{4}{32}i=-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}i.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para sua confiança): poderia também expandir (1+i)^{5} pela fórmula binomial e usar i^{2}=-1 para chegar ao mesmo resultado -4-4i. Ambos os métodos dão o mesmo número final.

Resposta

-\dfrac{1}{8}-\dfrac{i}{8}

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