Calcule o número complexo:
z=\frac{1}{-1-i \sqrt{3}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular o número complexo
z=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}}.
  • Informação dada: o denominador é o número complexo -1-i\sqrt{3}.

Passo 2

Estratégia a usar (explicação didática do método da conjugação).
  • Para dividir por um número complexo é muito comum “racionalizar” o denominador: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter um denominador real.
  • Definição de conjugado: o conjugado de um complexo a+ib é a-ib. Multiplicando a+ib por a-ib obtemos
(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2,
que é um número real (isso ocorre porque os termos imaginários se cancelam e i^2=-1).
  • Aqui o denominador é -1-i\sqrt{3}. O conjugado é -1+i\sqrt{3}. Vamos multiplicar numerador e denominador por esse conjugado.

Passo 3

Multiplicação por conjugado (colocando a operação).
z=\frac{1}{-1-i\sqrt{3}}\cdot\frac{-1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{(-1-i\sqrt{3})(-1+i\sqrt{3})}.

Passo 4

Cálculo do denominador ao multiplicar conjugados (mostrando passo a passo).
  • Usando a fórmula (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2 com a=-1 e b=\sqrt{3}, temos
(-1-i\sqrt{3})(-1+i\sqrt{3}) = (-1)^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4.
  • Alternativamente, expandir e usar i^2=-1 dá o mesmo resultado.

Passo 5

Cálculo do numerador e simplificação final (detalhando cada termo).
  • O numerador já é -1+i\sqrt{3}. Então
z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}.
  • Isso está na forma cartesiana x+iy, com parte real -\tfrac{1}{4} e parte imaginária \tfrac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 6

Verificação alternativa rápida (forma polar, só para entendimento extra).
  • Módulo do denominador -1-i\sqrt{3}:
|{-1-i\sqrt{3}}|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2.
  • Argumento do denominador é \arg(-1-i\sqrt{3})=-\tfrac{2\pi}{3} (ou \tfrac{4\pi}{3}). O inverso tem módulo 1/2 e argumento oposto +\tfrac{2\pi}{3}.
  • Em forma polar:
z=\tfrac{1}{2}\left(\cos\!\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\!\tfrac{2\pi}{3}\right) =\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\tfrac{1}{4}+i\tfrac{\sqrt{3}}{4},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{4}

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