Calcule o número complexo:
z=-2+2 i.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo \,z=-2+2i\, e pede para calculá-lo. Para que eu te entregue uma resposta completa e que te ajude na prova, vou calcular explicitamente e interpretar as seguintes coisas relacionadas a \,z\,:
  • a parte real e a parte imaginária;
  • o conjugado de \,z\,;
  • o módulo (valor absoluto) de \,z\,;
  • o argumento principal (ângulo) de \,z;
  • a forma trigonométrica (polar) de \,z;
  • a forma exponencial de \,z.

Passo 2

O que é um número complexo e como extrair partes dele.
Um número complexo tem a forma geral \,a+bi\,, onde \,a é a parte real e \,b é a parte imaginária (número real multiplicando i, onde i^2=-1). Para o nosso número dado \,z=-2+2i\, identificamos diretamente:
  • parte real: \,\Re(z)=-2\,;
  • parte imaginária: \,\Im(z)=2\,.
    Isso é só leitura direta da forma a+bi.

Passo 3

Conjugado de um número complexo.
O conjugado de \,z=a+bi\, é \,\overline{z}=a-bi\,. Ele troca o sinal da parte imaginária. Aplicando ao nosso \,z=-2+2i\,:
\overline{z} = -2-2i.

Passo 4

Módulo (valor absoluto) de um número complexo: definição e cálculo passo a passo.
O módulo de \,z=a+bi\, é a distância do ponto (a,b) à origem no plano complexo e é dado por \,|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,. Aqui a=\Re(z) e b=\Im(z). Substituindo a=-2 e b=2:
|z|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8} em fatores: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}. Portanto
|z|=2\sqrt{2}.

Passo 5

Argumento de um número complexo: conceito, fórmula e cuidados com quadrantes.
O argumento \theta=\arg(z) é o ângulo que o vetor que vai da origem até (a,b) faz com o eixo real positivo. A tangente do argumento relaciona-se pelas componentes: \,\tan\theta=\dfrac{b}{a}\, (quando a\neq0). Contudo, essa fórmula só dá o ângulo de referência: é preciso ajustar o valor de \theta conforme o quadrante onde o ponto (a,b) está.
Para \,z=-2+2i temos o ponto (a,b)=(-2,2). Observações:
  • a=-2<0 e b=2>0, então o ponto está no segundo quadrante (QII).
  • A tangente do ângulo de referência é
\tan\theta_\text{ref}=\left|\dfrac{b}{a}\right|=\left|\dfrac{2}{-2}\right|=1.
O ângulo cujo tangente é 1 no primeiro quadrante é \,\dfrac{\pi}{4}\,. Como estamos no segundo quadrante, o argumento principal (no intervalo (-\pi,\pi]) é
\theta=\pi-\theta_\text{ref}=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}.
Assim
\arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}.

Passo 6

Forma trigonométrica (polar) de um número complexo: definição e aplicação.
A forma trigonométrica de \,z=a+bi\, é
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde \,r=|z|\, e \,\theta=\arg(z). Usando r=2\sqrt{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{4}:
z = 2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
Podemos também verificar os valores de cosseno e seno nesse ângulo: \cos\tfrac{3\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando:
2\sqrt{2}\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2,\qquad 2\sqrt{2}\cdot\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2,
o que retorna -2+2i, checando que a forma está correta.

Passo 7

Forma exponencial de Euler.
A forma exponencial (ou forma de Euler) usa a identidade de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Assim a forma exponencial é
z = r e^{i\theta}.
Com r=2\sqrt{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{4}:
z = 2\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}.

Resposta

\Re(z)=-2
\Im(z)=2
\overline{z}=-2-2i
|z|=2\sqrt{2}
\arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}
z=2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr)
z=2\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}

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