Calcule os números complexos a seguir e expresse seus resultados na forma retangular:
\frac{60 \angle 45^{\circ}}{7,5-j 10}+j 12

Passo 1

O enunciado pede calcular
\frac{60\angle 45^\circ}{7,5 - j\,10} + j\,12
ou seja, dividir um número complexo dado em forma polar por outro em forma retangular, e então somar j\,12. Vamos usar conversão entre formas polar e retangular e racionalização de denominador.

Passo 2

Convertemos o numerador 60\angle 45^\circ para a forma retangular. Como
60\angle 45^\circ = 60\bigl(\cos 45^\circ + j\sin 45^\circ\bigr) =60\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}+j\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) =30\sqrt2 + j\,30\sqrt2.

Passo 3

Para dividir por 7,5 - j\,10, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{30\sqrt2 + j\,30\sqrt2}{7,5 - j\,10} \;=\; \frac{(30\sqrt2 + j\,30\sqrt2)\,(7,5 + j\,10)}{(7,5)^2+(10)^2} =\frac{(30\sqrt2 + j\,30\sqrt2)\,(7,5 + j\,10)}{56,25 + 100} =\frac{(30\sqrt2 + j\,30\sqrt2)\,(7,5 + j\,10)}{156,25}.

Passo 4

Primeiro fazemos o produto (30\sqrt2 + j\,30\sqrt2)\,(7,5 + j\,10). Note que 30\sqrt2 é comum, então
(30\sqrt2)(1+j)\,(7,5 + j\,10) =30\sqrt2\bigl[(7,5 + j\,10)(1+j)\bigr].
Calculando em detalhe:
(7,5 + j\,10)(1+j) =7,5 + j\,7,5 + j\,10 + j^2\,10 =(7,5 - 10) + j\,(7,5 + 10) =-2,5 + j\,17,5.
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(30\sqrt2 + j\,30\sqrt2)\,(7,5 + j\,10) =30\sqrt2\bigl(-2,5 + j\,17,5\bigr) =-75\sqrt2 + j\,525\sqrt2.
Dividindo por 156,25:
\frac{-75\sqrt2}{156,25} + j\,\frac{525\sqrt2}{156,25} =-0,6782 + j\,4,7516\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Somamos agora j\,12:
-0,6782 + j\,4,7516 + j\,12 =-0,6782 + j\,(4,7516 + 12) =-0,6782 + j\,16,7516.

Resposta

-0,6782 + j\,16,7516

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