Pretende-se distribuir 36 balas em 4 tigelas designadas pelas letras A, B, C e D. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos 3 balas e a tigela B contenha a mesma quantidade que a tigela D.

Passo 1

O problema pede o número de maneiras de repartir 36 balas idênticas em quatro tigelas A,B,C,D sujeitas a duas condições: cada tigela recebe pelo menos 3 balas e além disso B e D devem ter a mesma quantidade. O conteúdo envolvido é contagem de soluções inteiras não negativas com restrições, usando a técnica de “estrelas e barras” (stars and bars) após mudança de variáveis.

Passo 2

Sejam
x_A,\;x_B,\;x_C,\;x_D
as quantidades de balas em A,B,C,D. As condições são
  1. x_A\ge3,\;x_B\ge3,\;x_C\ge3,\;x_D\ge3.
  2. x_B = x_D.
    Para simplificar a condição de “pelo menos 3”, definimos
y_A = x_A - 3,\quad y_C = x_C - 3,\quad k = x_B = x_D.
Então y_A,y_C\ge0 e k\ge3.

Passo 3

Como a soma total é x_A + x_B + x_C + x_D = 36, substituindo as mudanças:
(y_A+3) + k + (y_C+3) + k =36 \;\Longrightarrow\; y_A + y_C + 2k +6 =36 \;\Longrightarrow\; y_A + y_C + 2k =30.
Como k\ge3, escrevemos k = k' +3 com k'\ge0. Substituindo:
y_A + y_C + 2(k'+3) =30 \;\Longrightarrow\; y_A + y_C + 2k' =24.

Passo 4

Agora contamos soluções não negativas de
y_A + y_C + 2k' =24,
com y_A,y_C,k'\ge0. Seja t=k'. Então para cada inteiro t tal que 0\le2t\le24 (ou seja, 0\le t\le12), definimos
m = 24 - 2t,
e obtemos y_A + y_C = m. Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções em y_A,y_C\ge0 é
\binom{m+2-1}{2-1} = m+1 = (24-2t)+1 = 25 - 2t.

Passo 5

Somamos sobre todos os t=0,1,2,\dots,12:
\sum_{t=0}^{12} (25 - 2t) = 13\cdot25 \;-\;2\sum_{t=0}^{12}t = 325 \;-\;2\cdot\frac{12\cdot13}{2} = 325 - 156 =169.

Resposta

169 maneiras.

Exercícios relacionados