Pretende-se distribuir 36 balas em 4 tigelas designadas pelas letras
e
. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos 3 balas e a tigela
contenha a mesma quantidade que a tigela
.
Passo 1
O problema pede o número de maneiras de repartir
balas idênticas em quatro tigelas
sujeitas a duas condições: cada tigela recebe pelo menos
balas e além disso
e
devem ter a mesma quantidade. O conteúdo envolvido é contagem de soluções inteiras não negativas com restrições, usando a técnica de “estrelas e barras” (stars and bars) após mudança de variáveis.
Passo 2
Sejam
as quantidades de balas em
. As condições são
-
. -
.
Para simplificar a condição de “pelo menos 3”, definimos
Então
e
.
Passo 3
Como a soma total é
, substituindo as mudanças:
Como
, escrevemos
com
. Substituindo:
Passo 4
Agora contamos soluções não negativas de
com
. Seja
. Então para cada inteiro
tal que
(ou seja,
), definimos
e obtemos
. Pelo método de estrelas e barras, o número de soluções em
é
Passo 5
Somamos sobre todos os
: