Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, determine a probabilidade dessas retas se intersectarem em um vértice de C.

Passo 1

O enunciado define A como o conjunto de todas as retas determinadas por pares de vértices de um cubo C. Precisamos escolher duas retas distintas de A ao acaso e calcular a probabilidade de que elas se intersectem em um vértice de C. O que vai interessar é contagem de elementos (análise combinatória) e probabilidade clássica.

Passo 2

Cada reta em A é determinada por dois vértices distintos dentre os 8 do cubo. Como não há três vértices colineares, cada par de vértices gera uma reta única. Assim,
|A| = \binom{8}{2} = 28.

Passo 3

O número total de maneiras de escolher duas retas distintas de A (par não ordenado) é
\binom{28}{2} = 378.

Passo 4

Para que duas retas se intersectem num vértice, ambas devem passar por esse mesmo vértice. Fixando um vértice v, passa por v uma reta para cada um dos outros 7 vértices, ou seja, há 7 retas em A que contêm v. O número de pares dessas retas que se intersectam em v é
\binom{7}{2} = 21.

Passo 5

Como o cubo tem 8 vértices e cada par de retas que intersecta em vértice é contado exatamente uma vez ao escolhermos o vértice, o total de pares favoráveis é
8 \times 21 = 168.

Passo 6

A probabilidade procurada é então
\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos totais}} =\frac{168}{378} =\frac{4}{9}.úáú

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

Exercícios relacionados