Seja
o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo
. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de
, determine a probabilidade dessas retas se intersectarem em um vértice de
.
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as retas determinadas por pares de vértices de um cubo
. Precisamos escolher duas retas distintas de
ao acaso e calcular a probabilidade de que elas se intersectem em um vértice de
. O que vai interessar é contagem de elementos (análise combinatória) e probabilidade clássica.
Passo 2
Cada reta em
é determinada por dois vértices distintos dentre os
do cubo. Como não há três vértices colineares, cada par de vértices gera uma reta única. Assim,
Passo 3
O número total de maneiras de escolher duas retas distintas de
(par não ordenado) é
Passo 4
Para que duas retas se intersectem num vértice, ambas devem passar por esse mesmo vértice. Fixando um vértice
, passa por
uma reta para cada um dos outros
vértices, ou seja, há
retas em
que contêm
. O número de pares dessas retas que se intersectam em
é
Passo 5
Como o cubo tem
vértices e cada par de retas que intersecta em vértice é contado exatamente uma vez ao escolhermos o vértice, o total de pares favoráveis é
Passo 6
A probabilidade procurada é então