(4,0) Considere a função
.
(a) Determine as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
, caso existam.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como seus pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
(c) Determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e para baixo, assim como os pontos de inflexão (se houver).
(d) Usando as informações dos itens anteriores faça um esboço do gráfico de
.
(a) Determine as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como seus pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
(c) Determine os intervalos onde o gráfico de
(d) Usando as informações dos itens anteriores faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
ou seja:
• No item (a) vamos achar assíntotas verticais e horizontais usando limites.
• No item (b) vamos usar a primeira derivada para obter os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
• No item (c) vamos usar a segunda derivada para determinar concavidade e pontos de inflexão.
• No item (d) faremos o esboço do gráfico aproveitando tudo o que já encontramos.
• No item (a) vamos achar assíntotas verticais e horizontais usando limites.
• No item (b) vamos usar a primeira derivada para obter os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
• No item (c) vamos usar a segunda derivada para determinar concavidade e pontos de inflexão.
• No item (d) faremos o esboço do gráfico aproveitando tudo o que já encontramos.
Passo 2
Assíntotas verticais surgem onde o denominador se anula, mas
para todo
, então não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais calculamos
Para assíntotas horizontais calculamos
logo existe a assíntota horizontal
.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada por quociente:
Daqui vem
se, e só se,
. Como
sempre, o sinal de
é o mesmo de
. Logo
• em
(decrescente).
• em
(crescente).
Em temos mínimo local com
.
•
•
Em
Passo 4
Derivando de novo para a concavidade:
Como
, o sinal de
vem de
.
• em
: côncavo para cima.
• em
: côncavo para baixo.
Pontos de inflexão onde , i.e. em
, e aí
•
•
Pontos de inflexão onde
Passo 5
Para o esboço usamos:
– Simetria par (só depende de ).
– Mínimo local em .
– Infleções em e
.
– Assíntota horizontal .
– Decrescente até , crescente depois.
– Côncavo para cima entre e
; côncavo para baixo fora desse intervalo.
– Simetria par (só depende de
– Mínimo local em
– Infleções em
– Assíntota horizontal
– Decrescente até
– Côncavo para cima entre
Resposta
(a) Não há assíntotas verticais. A assíntota horizontal é
.
(b) dá decrescente em
e crescente em
. Mínimo local em
.
(c) dá côncavo para cima em
e côncavo para baixo em
. Pontos de inflexão em
.
(d) Gráfico simétrico, mínimo em , inflexões em
,
e assíntota horizontal
.
(b)
(c)
(d) Gráfico simétrico, mínimo em