(4,0) Considere a função f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}.
(a) Determine as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f, caso existam.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, assim como seus pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
(c) Determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e para baixo, assim como os pontos de inflexão (se houver).
(d) Usando as informações dos itens anteriores faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x) = \frac{x^2}{x^2+3}
ou seja:
• No item (a) vamos achar assíntotas verticais e horizontais usando limites.
• No item (b) vamos usar a primeira derivada para obter os intervalos de crescimento/decrescimento e extremos locais.
• No item (c) vamos usar a segunda derivada para determinar concavidade e pontos de inflexão.
• No item (d) faremos o esboço do gráfico aproveitando tudo o que já encontramos.

Passo 2

Assíntotas verticais surgem onde o denominador se anula, mas x^2+3>0 para todo x, então não há assíntotas verticais.
Para assíntotas horizontais calculamos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+3} =1,
logo existe a assíntota horizontal y=1.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada por quociente:
f'(x) =\frac{2x(x^2+3)-x^2\cdot2x}{(x^2+3)^2} =\frac{6x}{(x^2+3)^2}.
Daqui vem f'(x)=0 se, e só se, x=0. Como (x^2+3)^2>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo de x. Logo
f'(x)<0 em (-\infty,0) (decrescente).
f'(x)>0 em (0,\infty) (crescente).
Em x=0 temos mínimo local com f(0)=0.

Passo 4

Derivando de novo para a concavidade:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{6x}{(x^2+3)^2}\Bigr) =\frac{18(1-x^2)}{(x^2+3)^3}.
Como (x^2+3)^3>0, o sinal de f''(x) vem de 1-x^2.
f''(x)>0 em (-1,1): côncavo para cima.
f''(x)<0 em (-\infty,-1)\cup(1,\infty): côncavo para baixo.
Pontos de inflexão onde f''(x)=0, i.e. em x=\pm1, e aí
f(\pm1)=\frac{1}{1+3}=\frac14.

Passo 5

Para o esboço usamos:
– Simetria par (só depende de x^2).
– Mínimo local em (0,0).
– Infleções em (-1,\tfrac14) e (1,\tfrac14).
– Assíntota horizontal y=1.
– Decrescente até x=0, crescente depois.
– Côncavo para cima entre -1 e 1; côncavo para baixo fora desse intervalo.

Resposta

(a) Não há assíntotas verticais. A assíntota horizontal é y=1.
(b) f'(x)=6x/(x^2+3)^2 dá decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty). Mínimo local em (0,0).
(c) f''(x)=18(1-x^2)/(x^2+3)^3 dá côncavo para cima em (-1,1) e côncavo para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty). Pontos de inflexão em \bigl(\pm1,\tfrac14\bigr).
(d) Gráfico simétrico, mínimo em (0,0), inflexões em (-1,\tfrac14), (1,\tfrac14) e assíntota horizontal y=1.

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