Sejam
e
dois subconjuntos de
, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos
e
e
. Verifique:
, onde
se
ilimitado superiormente.
Passo 1
O enunciado dá dois subconjuntos não vazios
e define o conjunto soma
e o simétrico
A tarefa é mostrar que
adotando a convenção
se
for ilimitado superiormente.
Conteúdo principal: propriedades de supremo, desigualdade entre somas de conjuntos e argumento métrico com .
Conteúdo principal: propriedades de supremo, desigualdade entre somas de conjuntos e argumento métrico com
Passo 2
Prova de
.
Como e
são cotas superiores de
e
, temos para todo
e todo
que
Como
Somando essas desigualdades segue
Como
é um elemento arbitrário de
, concluímos que
é cota superior de
. Logo,
Passo 3
Prova de
quando
e
são números reais (não infinitos).
Sejam e
finitos. Dado
, pelo caráter de supremo existem
Sejam
Então o elemento
satisfaz
Isto mostra que para todo
existe um ponto em
maior que
, portanto
Passo 4
Tratamento dos casos infinitos.
- Se
e é finito, então para todo existe com . Tomando qualquer , segue
mas como
finito e
pode crescer arbitrariamente,
será ilimitado superiormente, isto é
.
2. Se e
finito, argumento análogo mostra
.
3. Se , então evidentemente
é ilimitado acima e
.
Em cada caso, a soma de infinitos ou de infinito com finito dá infinito, garantindo
2. Se
3. Se
Em cada caso, a soma de infinitos ou de infinito com finito dá infinito, garantindo