Sejam X e Y dois subconjuntos de \mathbb{R}, não vazios e arbitrários (limitados ou não). Definamos X+Y=\{x+y: x \in X e y \in Y\} e -X=\{-x: x \in X\}. Verifique:
\sup X+\sup Y=\sup (X+Y), onde \sup X=+\infty se X ilimitado superiormente.

Passo 1

O enunciado dá dois subconjuntos não vazios X,Y\subseteq\mathbb{R} e define o conjunto soma
X+Y \;=\;\{\,x+y : x\in X,\;y\in Y\}
e o simétrico
-\,X \;=\;\{\,-x : x\in X\}.
A tarefa é mostrar que
\sup(X+Y)\;=\;\sup X\;+\;\sup Y,
adotando a convenção \sup X=+\infty se X for ilimitado superiormente.
Conteúdo principal: propriedades de supremo, desigualdade entre somas de conjuntos e argumento métrico com \epsilon.

Passo 2

Prova de \sup(X+Y)\le \sup X+\sup Y.
Como \sup X e \sup Y são cotas superiores de X e Y, temos para todo x\in X e todo y\in Y que
x \le \sup X, \qquad y \le \sup Y.
Somando essas desigualdades segue
x+y \le \sup X + \sup Y.
Como x+y é um elemento arbitrário de X+Y, concluímos que \sup X+\sup Y é cota superior de X+Y. Logo,
\sup(X+Y)\;\le\;\sup X+\sup Y.

Passo 3

Prova de \sup(X+Y)\ge \sup X+\sup Y quando \sup X e \sup Y são números reais (não infinitos).
Sejam \sup X e \sup Y finitos. Dado \epsilon>0, pelo caráter de supremo existem
x_\epsilon\in X \quad\text{com}\quad x_\epsilon > \sup X - \frac{\epsilon}{2},
y_\epsilon\in Y \quad\text{com}\quad y_\epsilon > \sup Y - \frac{\epsilon}{2}.
Então o elemento x_\epsilon + y_\epsilon\in X+Y satisfaz
x_\epsilon + y_\epsilon > \Bigl(\sup X - \tfrac{\epsilon}{2}\Bigr) +\Bigl(\sup Y - \tfrac{\epsilon}{2}\Bigr) = \sup X + \sup Y - \epsilon.
Isto mostra que para todo \epsilon>0 existe um ponto em X+Y maior que \sup X+\sup Y-\epsilon, portanto
\sup(X+Y)\;\ge\;\sup X+\sup Y.

Passo 4

Tratamento dos casos infinitos.
  1. Se \sup X=+\infty e \sup Y é finito, então para todo M\in\mathbb{R} existe x\in X com x > M - \sup Y. Tomando qualquer y\in Y, segue
x+y > M - \sup Y + y \ge M - \sup Y + (\inf Y)
mas como \sup Y finito e x pode crescer arbitrariamente, X+Y será ilimitado superiormente, isto é \sup(X+Y)=+\infty.
2. Se \sup Y=+\infty e \sup X finito, argumento análogo mostra \sup(X+Y)=+\infty.
3. Se \sup X=\sup Y=+\infty, então evidentemente X+Y é ilimitado acima e \sup(X+Y)=+\infty.
Em cada caso, a soma de infinitos ou de infinito com finito dá infinito, garantindo
\sup(X+Y)\;=\;+\infty \;=\;\sup X+\sup Y.

Resposta

\displaystyle \sup(X+Y)=\sup X+\sup Y.

Exercícios relacionados