Calcule \oint_{c} \frac{\cos \pi z}{z^{2}-1} dz ao longo de um retângulo com vértices em:
2 \pm i,-2 \pm i;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1}\,dz
ao longo de um retângulo cujos vértices são 2\pm i e -2\pm i.
Conteúdo: vamos usar o Teorema dos Resíduos para funções meromorfas, identificando polos simples dentro do contorno e somando seus resíduos.

Passo 2

A função
f(z)=\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1}
tem polos onde z^{2}-1=0, ou seja em z=\pm1. Como
z^{2}-1=(z-1)(z+1),
são polos simples. O retângulo abrange -2\le\Re(z)\le2 e -1\le\Im(z)\le1, logo ambos z=1 e z=-1 estão no interior de C.

Passo 3

Para um polo simples z_{0},
\Res\bigl(f,z_{0}\bigr) =\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1} =\frac{\cos(\pi z_{0})}{2z_{0}}.
Substituindo z_{0}=1 e z_{0}=-1:
\Res\bigl(f,1\bigr) =\frac{\cos(\pi)}{2\cdot1} =-\frac12, \quad \Res\bigl(f,-1\bigr) =\frac{\cos(-\pi)}{2\cdot(-1)} =\frac12.

Passo 4

Somando os resíduos internos:
-\tfrac12 + \tfrac12 = 0.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}f(z)\,dz =2\pi i\sum \Res(f,z_{k}) =2\pi i\cdot 0 =0.

Resposta

0

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