Calcule \oint_{c} \frac{\cos \pi z}{z^{2}-1} dz ao longo de um retângulo com vértices em:
-i, 2-i, 2+i, i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1}\,dz
onde C é o retângulo com vértices em -i, 2-i, 2+i e i.
O conteúdo chave aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, se f é meromorfa dentro de C, então
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\text{pólos dentro de }C} \Res(f;z_k).

Passo 2

Identificamos os pólos de
f(z)=\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1}
pelas raízes de z^{2}-1=0, ou seja z=\pm1.
O retângulo tem \Re z\in[0,2] e \Im z\in[-1,1].
Desses dois pólos, apenas z=1 satisfaz 0<\Re(1)<2 e -1<\Im(1)<1.
Logo, o único pólo simples dentro de C é z=1.

Passo 3

Para um pólo simples em z=1, a definição de resíduo é
\Res\bigl(f;1\bigr) =\lim_{z\to1}(z-1)\,\frac{\cos(\pi z)}{(z-1)(z+1)} =\frac{\cos(\pi\cdot1)}{1+1} =\frac{\cos(\pi)}{2} =\frac{-1}{2}.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{\cos(\pi z)}{z^{2}-1}\,dz =2\pi i \sum \Res(f;z_k) =2\pi i \,\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =-\pi i.

Resposta

-\pi i

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