Calcule \oint_{c} \frac{\cos \pi z}{z^{2}-1} dz ao longo de um retângulo com vértices em:
-i, 2-i, 2+i, i.
-i, 2-i, 2+i, i.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o retângulo com vértices em
,
,
e
.
O conteúdo chave aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, se é meromorfa dentro de
, então
O conteúdo chave aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, se
Passo 2
Identificamos os pólos de
pelas raízes de
, ou seja
.
O retângulo tem e
.
Desses dois pólos, apenas satisfaz
e
.
Logo, o único pólo simples dentro de é
.
O retângulo tem
Desses dois pólos, apenas
Logo, o único pólo simples dentro de
Passo 3
Para um pólo simples em
, a definição de resíduo é
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,