Calcule \oint_{c} \frac{e^{3 z}}{z-\pi i} dz, se C é (a) o circulo |z-1|=4, (b) a elipse |z-2|+|z+2|=6.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema dos Resíduos. O único polo de
é
. Precisamos (i) calcular o resíduo em
e depois (ii) verificar se esse polo está dentro de cada curva
.
Passo 2
O polo em
é simples, e o resíduo é
Passo 3
Para o círculo
, calculamos a distância do polo ao centro
:
logo
está dentro de
.
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Para a elipse
(focos em
), medimos as distâncias de
a cada foco:
soma
portanto
fica fora de
.
Passo 6
Como não há polos dentro da elipse, a integral é zero:
Resposta
(a)
(b)
(b)