Calcule \oint_{c} \frac{e^{3 z}}{z-\pi i} dz, se C é (a) o circulo |z-1|=4, (b) a elipse |z-2|+|z+2|=6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz
usando o Teorema dos Resíduos. O único polo de
f(z)=\frac{e^{3z}}{z-\pi i}
é z=\pi i. Precisamos (i) calcular o resíduo em z=\pi i e depois (ii) verificar se esse polo está dentro de cada curva C.

Passo 2

O polo em z=\pi i é simples, e o resíduo é
\Res\bigl(f,z=\pi i\bigr) =\lim_{z\to\pi i}(z-\pi i)\frac{e^{3z}}{z-\pi i} =\;e^{3\pi i} =\cos(3\pi)+i\sin(3\pi) =-1.

Passo 3

Para o círculo \lvert z-1\rvert=4, calculamos a distância do polo ao centro 1+0i:
\bigl|\pi i-1\bigr| =\sqrt{(-1)^2+(\pi)^2} =\sqrt{1+\pi^2}\approx3{,}30<4,
logo z=\pi i está dentro de C.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz =2\pi i\;\Bigl(\Res(f,\pi i)\Bigr) =2\pi i\cdot(-1) =-2\pi i.

Passo 5

Para a elipse \lvert z-2\rvert+\lvert z+2\rvert=6 (focos em \pm2), medimos as distâncias de \pi i a cada foco:
\lvert\pi i-2\rvert =\sqrt{4+\pi^2},\quad \lvert\pi i+2\rvert =\sqrt{4+\pi^2},
soma
2\sqrt{4+\pi^2}\approx2\cdot3{,}72=7{,}44>6,
portanto z=\pi i fica fora de C.

Passo 6

Como não há polos dentro da elipse, a integral é zero:
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz=0.

Resposta

(a) -2\pi i
(b) 0

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