Calcule \oint_{c} \frac{\operatorname{sen} 3 z}{z+\pi / 2} dz, se C é o circulo |z|=5.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{C}\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=5. O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos, já que a função \displaystyle f(z)=\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2}
é meromorfa com um pólo simples.
Passo 2
Identificamos as singularidades de f: o denominador z +\pi/2 se anula em
z_0 = -\frac{\pi}{2}.
Como \bigl\lvert -\pi/2\bigr\rvert \approx 1,57<5, esse pólo simples está dentro de C. Não há outras singularidades porque \sin(3z) é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).