Calcule \oint_{c} \frac{\operatorname{sen} 3 z}{z+\pi / 2} dz, se C é o circulo |z|=5.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{C}\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2}\,dz
onde C é o círculo \lvert z\rvert=5. O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos, já que a função \displaystyle f(z)=\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2}
é meromorfa com um pólo simples.

Passo 2

Identificamos as singularidades de f: o denominador z +\pi/2 se anula em
z_0 = -\frac{\pi}{2}.
Como \bigl\lvert -\pi/2\bigr\rvert \approx 1,57<5, esse pólo simples está dentro de C. Não há outras singularidades porque \sin(3z) é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).

Passo 3

O resíduo de f em z_0=-\pi/2 é
\Res(f,z_0) =\lim_{z\to z_0}(z - z_0)\,\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2} =\sin\bigl(3\,z_0\bigr) =\sin\!\bigl(-\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
Como \sin(-\tfrac{3\pi}{2})=-\sin(\tfrac{3\pi}{2})=-(-1)=1, o resíduo vale 1.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}\frac{\sin(3z)}{z + \pi/2}\,dz =2\pi i\;\sum_{\text{pólos dentro de }C}\Res(f) =2\pi i\cdot 1 =2\pi i.

Resposta

\,2\pi i

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