Calcule:
\oint_{c} \frac{e^{2 z}}{(z+1)^{4}} dz, onde C é o círculo |z|=3.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de contorno
\oint_{C} \frac{e^{2z}}{(z+1)^{4}}\,dz
sobre a circunferência C\colon |z|=3.
O conteúdo utilizado será o Teorema dos Resíduos, aplicando-o a um polo de ordem 4 em z=-1.

Passo 2

Identificamos que a única singularidade de \displaystyle f(z)=\frac{e^{2z}}{(z+1)^{4}}
dentro de \lvert z\rvert=3 é z_0=-1, onde há um polo de ordem n=4.

Passo 3

Para um polo de ordem n em z_{0}, a fórmula do resíduo é
\Res(f,z_{0}) =\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z\to z_{0}} \frac{d^{\,n-1}}{dz^{\,n-1}} \Bigl[(z-z_{0})^{n}f(z)\Bigr].
Aqui n=4 e z_{0}=-1, logo
(z+1)^{4}f(z)=e^{2z}.

Passo 4

Calculamos a derivada de ordem 3 de e^{2z}:
\frac{d^{3}}{dz^{3}}\,e^{2z} =2^{3}e^{2z}=8e^{2z}.
Assim o resíduo em z=-1 é
\Res\bigl(f,-1\bigr) =\frac{1}{3!}\bigl[8e^{2z}\bigr]_{z=-1} =\frac{1}{6}\,8e^{-2} =\frac{4}{3}e^{-2}.

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{C} \frac{e^{2z}}{(z+1)^{4}}\,dz =2\pi i\sum \Res(f) =2\pi i\cdot \frac{4}{3}e^{-2} =\frac{8\pi i}{3}e^{-2}.

Resposta

\frac{8\pi i}{3}e^{-2}.

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