Calcule \oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2} dz, onde C é (a) o círculo |z|=3, (b) o círculo |z|=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
em dois casos: (a) é o círculo
e (b)
é o círculo
.
O conteúdo envolve integrais de funções complexas e o Teorema dos Resíduos, que diz que
em dois casos: (a)
O conteúdo envolve integrais de funções complexas e o Teorema dos Resíduos, que diz que
Passo 2
Analisando a função
,
vemos que há um único polo simples em .
Para usar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo de nesse polo.
vemos que há um único polo simples em
Para usar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo de
Passo 3
O resíduo de uma função com polo simples em
é
Aqui, com
,
Passo 4
Caso (a):
é o círculo
.
Nesse caso, o ponto fica dentro de
.
Pelo Teorema dos Resíduos,
Nesse caso, o ponto
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Caso (b):
é o círculo
.
Aqui, está fora de
, logo não há polos no interior.
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é zero:
Aqui,
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é zero:
Resposta
(a)
(b)
(b)