Calcule \oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2} dz, onde C é (a) o círculo |z|=3, (b) o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno \displaystyle \oint_{C}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz
em dois casos: (a) C é o círculo \lvert z\rvert=3 e (b) C é o círculo \lvert z\rvert=1.
O conteúdo envolve integrais de funções complexas e o Teorema dos Resíduos, que diz que
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de }f\text{ no interior de }C).í

Passo 2

Analisando a função \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z-2},
vemos que há um único polo simples em z=2.
Para usar o Teorema dos Resíduos, precisamos calcular o resíduo de f nesse polo.

Passo 3

O resíduo de uma função com polo simples em z_0 é
\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_0) =\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\,f(z).
Aqui, com z_0=2,
\mathop{\mathrm{Res}}\bigl(\tfrac{e^{z}}{z-2},2\bigr) =\lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^{z}}{z-2} =e^{2}.

Passo 4

Caso (a): C é o círculo \lvert z\rvert=3.
Nesse caso, o ponto z=2 fica dentro de C.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{\lvert z\rvert=3}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz =2\pi i\;\mathop{\mathrm{Res}}\bigl(\tfrac{e^{z}}{z-2},2\bigr) =2\pi i\,e^{2}.

Passo 5

Caso (b): C é o círculo \lvert z\rvert=1.
Aqui, z=2 está fora de C, logo não há polos no interior.
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é zero:
\oint_{\lvert z\rvert=1}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz=0.

Resposta

(a) \;2\pi i\,e^{2}.
(b) \;0.

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