Exercício 12.1.1. Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento da curva parametrizada
no intervalo de parâmetro
. As informações relevantes são: os três componentes da curva e o intervalo de
. O objetivo final é obter um número que represente o comprimento do arco dessa curva entre
e
.
Passo 2
Regra que vamos usar (a mais importante aqui): para uma curva suave
definida em um intervalo
, o comprimento
é dado por
onde
é a derivada vetor (velocidade) e
é a sua norma euclidiana (a “velocidade instantânea”). Explicando isso de forma concreta:
tem componentes que são as derivadas das componentes de
, e
Então o plano é: calcular
, obter
e integrar de
a
.
Passo 3
Calcular
componente a componente. Uso a regra básica da derivada de potências:
, e constantes multiplicativas saem:
- Derivada da primeira componente
é
- Derivada da segunda componente
é
Observe que
, então isso é
.
- Derivada da terceira componente
é
Portanto
Passo 4
Calcular a norma ao quadrado
para facilitar a conta:
Repare que isso é um quadrado perfeito:
Essa observação vai simplificar bastante: a raiz quadrada fica direta.
Passo 5
Tomando a raiz positiva (velocidade é não negativa),
pois
para todo
. Assim o comprimento é
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Integramos termo a termo usando
e
:
Somando os termos obtemos