Exercício 12.1.1. Determine o comprimento da curva dada.
\alpha(t)=\left(t, t^{2} / \sqrt{2}, 1 / 3 t^{3}\right) 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento da curva parametrizada
\alpha(t)=\left(t,\;\frac{t^{2}}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{3}t^{3}\right)
no intervalo de parâmetro \,0\le t\le 1. As informações relevantes são: os três componentes da curva e o intervalo de t. O objetivo final é obter um número que represente o comprimento do arco dessa curva entre t=0 e t=1.

Passo 2

Regra que vamos usar (a mais importante aqui): para uma curva suave \alpha(t) definida em um intervalo [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt,
onde \alpha'(t) é a derivada vetor (velocidade) e \|\alpha'(t)\| é a sua norma euclidiana (a “velocidade instantânea”). Explicando isso de forma concreta: \alpha'(t) tem componentes que são as derivadas das componentes de \alpha, e
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Então o plano é: calcular \alpha'(t), obter \|\alpha'(t)\| e integrar de \,0 a \,1.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) componente a componente. Uso a regra básica da derivada de potências: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{\,n-1}, e constantes multiplicativas saem:
  • Derivada da primeira componente t é
\frac{d}{dt}t = 1.
  • Derivada da segunda componente \dfrac{t^{2}}{\sqrt{2}} é
\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{2}}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2t}{\sqrt{2}}.
Observe que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, então isso é \sqrt{2}\,t.
  • Derivada da terceira componente \dfrac{1}{3}t^{3} é
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3t^{2}=t^{2}.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(1,\;\sqrt{2}\,t,\;t^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular a norma ao quadrado \|\alpha'(t)\|^{2} para facilitar a conta:
\|\alpha'(t)\|^{2}=1^{2}+(\sqrt{2}\,t)^{2}+(t^{2})^{2}=1+2t^{2}+t^{4}.
Repare que isso é um quadrado perfeito:
1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}.
Essa observação vai simplificar bastante: a raiz quadrada fica direta.

Passo 5

Tomando a raiz positiva (velocidade é não negativa),
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(1+t^{2})^{2}}=1+t^{2},
pois 1+t^{2}\ge 0 para todo t. Assim o comprimento é
L=\int_{0}^{1}(1+t^{2})\,dt.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Integramos termo a termo usando \int 1\,dt=t e \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}:
\int_{0}^{1}(1+t^{2})\,dt=\left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(1+\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(0+\frac{0^{3}}{3}\right)=1+\frac{1}{3}.
Somando os termos obtemos
L=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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