Exercício 11.1.4. Utilizando coordenadas cilíndricas calcule
\iiint_{B} x+y+z d x d y d z, em que B é o conjunto x \geq 0, y \geq 0 e 0 \leq z \leq 4-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} x+y+z \, dx\,dy\,dz,
onde o conjunto B é dado por:
  • x \geq 0,
  • y \geq 0,
  • 0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2}.
Lista das informações relevantes:
  • A região em xy-plano que projeta B é o conjunto de (x,y) com x\ge0,\;y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le 4, isto é, o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.
  • O integrando é x+y+z.
  • A integral é tripla sobre B, portanto precisaremos usar coordenadas que simplifiquem a descrição do disco (coordenadas cilíndricas parecem naturais).

Passo 2

Lição rápida sobre coordenadas cilíndricas (o que vamos usar e porquê):
  • Nas coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do fator r: ao trocar dx\,dy por r\,dr\,d\theta estamos colocando a área de um anel circular de espessura dr e ângulo d\theta, cuja área é approximately r\,d r\,d\theta. Esse fator é o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
  • Vantagem: a restrição x^{2}+y^{2}\le4 vira simplesmente r\le2, e a condição x\ge0,y\ge0 vira \theta entre 0 e \pi/2.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
  • Como x\ge0,\;y\ge0 temos \theta no intervalo
0\le \theta \le \frac{\pi}{2}.
  • Como x^{2}+y^{2}\le 4 temos 0\le r \le 2.
  • Para cada (r,\theta) a variável z varia entre 0 e 4 - x^{2}-y^{2}=4-r^{2}, logo
0\le z \le 4 - r^{2}.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e multiplicando pelo jacobiano r, a integral fica
\iiint_{B} x+y+z \, dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} \bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\, r \, dz\,dr\,d\theta.
  • Reescrevendo o integrando para facilitar a integração em z:
\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\, r = r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z.

Passo 5

Integrar primeiro em z (integração simples e mecânica):
  • Calculemos
\int_{0}^{4-r^{2}} \bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\bigr)\, dz.
  • Os termos r^{2}\cos\theta e r^{2}\sin\theta não dependem de z, então sua contribuição é
\bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta\bigr)\,(4 - r^{2}).
  • O termo r z integra para
r\int_{0}^{4-r^{2}} z\,dz = r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{4-r^{2}} = r\cdot\frac{(4-r^{2})^{2}}{2}.
  • Portanto, após a integração em z obtemos a integral dupla
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} \Bigl( r^{2}(\cos\theta + \sin\theta)(4-r^{2}) + r\cdot\frac{(4-r^{2})^{2}}{2}\Bigr)\, dr\,d\theta.

Passo 6

Separar a integral em duas partes e tratar \theta e r separadamente quando possível:
  • Escrevemos a integral como soma I = I_{1} + I_{2}, com
I_{1} = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r^{2}(\cos\theta + \sin\theta)(4-r^{2})\, dr\,d\theta,
I_{2} = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r\cdot\frac{(4-r^{2})^{2}}{2}\, dr\,d\theta.
  • No I_{1} o fator (\cos\theta+\sin\theta) depende só de \theta, então podemos separar:
I_{1} = \left(\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{2}(4-r^{2})\,dr\right).

Passo 7

Calcular a integral angular do I_{1}:
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2} + \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 1 + 1 = 2.

Passo 8

Calcular a integral radial do I_{1}:
  • Compute
\int_{0}^{2} r^{2}(4-r^{2})\,dr = \int_{0}^{2} (4r^{2} - r^{4})\,dr.
  • Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} 4r^{2}\,dr = 4\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = 4\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{3},
\int_{0}^{2} r^{4}\,dr = \frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{32}{5}.
  • Subtraindo:
\int_{0}^{2} (4r^{2} - r^{4})\,dr = \frac{32}{3} - \frac{32}{5} = 32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = 32\cdot\frac{2}{15} = \frac{64}{15}.
  • Portanto
I_{1} = 2 \cdot \frac{64}{15} = \frac{128}{15}.

Passo 9

Calcular I_{2} (a parte sem dependência angular dentro do integrando):
  • Observamos que em I_{2} o integrando depende só de r, então
I_{2} = \left(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r\cdot\frac{(4-r^{2})^{2}}{2}\,dr\right).
  • A integral em \theta é simplesmente \pi/2.
  • Chamemos a integral radial
J = \int_{0}^{2} r\cdot\frac{(4-r^{2})^{2}}{2}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr.
  • Fazer a mudança de variável u=r^{2} para resolver a integral: u=r^{2}\Rightarrow du=2r\,dr\Rightarrow r\,dr = \frac{du}{2}. Quando r vai de 0 a 2, u vai de 0 a 4.
  • Assim
\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr = \int_{0}^{4} (4-u)^{2}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} (4-u)^{2}\,du.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{4} (4-u)^{2}\,du = \int_{0}^{4} (u^{2}-8u+16)\,du = \left[\frac{u^{3}}{3} -4u^{2} +16u\right]_{0}^{4}.
  • Avaliando em u=4:
\frac{4^{3}}{3} -4\cdot 4^{2} +16\cdot 4 = \frac{64}{3} -64 +64 = \frac{64}{3}.
  • Portanto
\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{64}{3} = \frac{32}{3}.
  • Voltando a J:
J = \frac{1}{2}\cdot \frac{32}{3} = \frac{16}{3}.
  • Finalmente
I_{2} = \left(\int_{0}^{\pi/2} d\theta\right)\cdot J = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{16}{3} = \frac{8\pi}{3}.

Passo 10

Somar as duas contribuições I_{1} e I_{2}:
I = I_{1} + I_{2} = \frac{128}{15} + \frac{8\pi}{3}.
Colocando em denominar comum 15 para simplificar a escrita:
\frac{8\pi}{3} = \frac{40\pi}{15},
logo
I = \frac{128 + 40\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{128 + 40\pi}{15}

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