Exercício 11.1.4. Utilizando coordenadas cilíndricas calcule \iiint_{B} x+y+z d x d y d z, em que B é o conjunto x \geq 0, y \geq 0 e 0 \leq z \leq 4-x^{2}-y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} x+y+z \, dx\,dy\,dz,
onde o conjunto B é dado por:
x \geq 0,
y \geq 0,
0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2}.
Lista das informações relevantes:
A região em xy-plano que projeta B é o conjunto de (x,y) com x\ge0,\;y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le 4, isto é, o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.
O integrando é x+y+z.
A integral é tripla sobre B, portanto precisaremos usar coordenadas que simplifiquem a descrição do disco (coordenadas cilíndricas parecem naturais).
Passo 2
Lição rápida sobre coordenadas cilíndricas (o que vamos usar e porquê):
Nas coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge0 é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do fator r: ao trocar dx\,dy por r\,dr\,d\theta estamos colocando a área de um anel circular de espessura dr e ângulo d\theta, cuja área é approximately r\,d r\,d\theta. Esse fator é o jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
Vantagem: a restrição x^{2}+y^{2}\le4 vira simplesmente r\le2, e a condição x\ge0,y\ge0 vira \theta entre 0 e \pi/2.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas cilíndricas:
Como x\ge0,\;y\ge0 temos \theta no intervalo
0\le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Como x^{2}+y^{2}\le 4 temos 0\le r \le 2.
Para cada (r,\theta) a variável z varia entre 0 e 4 - x^{2}-y^{2}=4-r^{2}, logo
0\le z \le 4 - r^{2}.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e multiplicando pelo jacobiano r, a integral fica
\iiint_{B} x+y+z \, dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r^{2}} \bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\, r \, dz\,dr\,d\theta.
Reescrevendo o integrando para facilitar a integração em z:
\bigl(r\cos\theta + r\sin\theta + z\bigr)\, r = r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z.
Passo 5
Integrar primeiro em z (integração simples e mecânica):
Calculemos
\int_{0}^{4-r^{2}} \bigl(r^{2}\cos\theta + r^{2}\sin\theta + r z\bigr)\, dz.
Os termos r^{2}\cos\theta e r^{2}\sin\theta não dependem de z, então sua contribuição é
Fazer a mudança de variável u=r^{2} para resolver a integral: u=r^{2}\Rightarrow du=2r\,dr\Rightarrow r\,dr = \frac{du}{2}. Quando r vai de 0 a 2, u vai de 0 a 4.