e pede o comprimento dessa curva no intervalo t\in[0,1].
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{As componentes da curva: } x(t)=t+3t^{2},\quad y(t)=4+2t^{3}.\\\ &\text{O intervalo de parametrização: } t\in[0,1]. \end{aligned}
O que se pede: calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=1.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (aulas rápidas): o comprimento L de uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt,
onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Explicando essa fórmula como se eu estivesse te explicando na hora da prova: derivamos as componentes em relação a t para obter a velocidade vetorial; o comprimento como soma dos pequenos deslocamentos é a integral do módulo dessa velocidade.
Passo 3
Derivamos as componentes da curva (mostrando detalhadamente):
Portanto o integrando é \sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}.
Passo 5
Escrevemos o comprimento como integral definida:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}\,dt.
Observação importante (didática): antes de tentar integrar diretamente, sempre procuro ver se o radicando é um quadrado perfeito ou se há uma substituição óbvia. Tentamos ver se existe um polinômio cuja quadrado dê esse polinômio de quarto grau; fizemos a tentativa (procurando algo do tipo (6t^{2}+at+b)^{2}) e vimos que isso não bate com o termo em t. Logo não é um quadrado perfeito simples e não há antiderivada elementar óbvia.
Passo 6
Decisão prática (como eu faria na prova quando não há antiderivada elementar): aproximar numericamente a integral. Uma boa opção é a Regra de Simpson, que é precisa e simples de aplicar para um número moderado de subintervalos.
Breve explicação da Regra de Simpson:
Dividimos o intervalo [0,1] em um número par n de subintervalos de comprimento h=(1-0)/n.
Se t_{0}=0,t_{1},\dots,t_{n}=1 são os nós, a aproximação de Simpson é
Escolhi n=8 (passos de tamanho h=\tfrac{1}{8}=0,125). Isso dá boa precisão sem ser cansativo. Calculamos t_{k}=k\cdot0,125 para k=0,\dots,8 e avaliamos f(t_{k}).
Lista dos nós e cálculo detalhado de f(t)=\sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}:
\begin{aligned} L &\approx \frac{0,125}{3}\Bigl(1+9,219544457+4\cdot17,16121+2\cdot13,25300\Bigr)\\\ &=0,0416666667\cdot 105,370388257\approx 4,39043. \end{aligned}
Passo 9
Interpretação do resultado e verificação rápida: o valor faz sentido por inspeção — o integrando cresce de 1 até cerca de 9,22, e a área sob a curva (comprimento) fica em torno de 4,39. A Regra de Simpson com n=8 costuma dar boa precisão; se você quiser maior precisão na prova não há problema em usar n=16 ou uma calculadora simbólica, mas o procedimento e o valor aproximado já estão corretos e justificáveis.