Exercício 12.1.1. Determine o comprimento da curva dada.
\alpha(t)=\left(t+3 t^{2}, 4+2 t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\alpha(t)=\bigl(t+3t^{2},\,4+2t^{3}\bigr),\qquad 0\le t\le1
e pede o comprimento dessa curva no intervalo t\in[0,1].
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{As componentes da curva: } x(t)=t+3t^{2},\quad y(t)=4+2t^{3}.\\\ &\text{O intervalo de parametrização: } t\in[0,1]. \end{aligned}çã
O que se pede: calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (aulas rápidas): o comprimento L de uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), a\le t\le b, é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt,
onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Explicando essa fórmula como se eu estivesse te explicando na hora da prova: derivamos as componentes em relação a t para obter a velocidade vetorial; o comprimento como soma dos pequenos deslocamentos é a integral do módulo dessa velocidade.

Passo 3

Derivamos as componentes da curva (mostrando detalhadamente):
x(t)=t+3t^{2}\quad\Longrightarrow\quad x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t+3t^{2}\bigr)=1+6t.
y(t)=4+2t^{3}\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4+2t^{3}\bigr)=6t^{2}.

Passo 4

Montamos o módulo da velocidade:
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}=\sqrt{(1+6t)^{2}+(6t^{2})^{2}}.
Agora expandimos para ver a forma do integrando:
\begin{aligned} (1+6t)^{2}+(6t^{2})^{2} &=1+12t+36t^{2}+36t^{4}. \end{aligned}
Portanto o integrando é \sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}.

Passo 5

Escrevemos o comprimento como integral definida:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}\,dt.
Observação importante (didática): antes de tentar integrar diretamente, sempre procuro ver se o radicando é um quadrado perfeito ou se há uma substituição óbvia. Tentamos ver se existe um polinômio cuja quadrado dê esse polinômio de quarto grau; fizemos a tentativa (procurando algo do tipo (6t^{2}+at+b)^{2}) e vimos que isso não bate com o termo em t. Logo não é um quadrado perfeito simples e não há antiderivada elementar óbvia.

Passo 6

Decisão prática (como eu faria na prova quando não há antiderivada elementar): aproximar numericamente a integral. Uma boa opção é a Regra de Simpson, que é precisa e simples de aplicar para um número moderado de subintervalos.
Breve explicação da Regra de Simpson:
  • Dividimos o intervalo [0,1] em um número par n de subintervalos de comprimento h=(1-0)/n.
  • Se t_{0}=0,t_{1},\dots,t_{n}=1 são os nós, a aproximação de Simpson é
\int_{0}^{1}f(t)\,dt\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(t_{0})+f(t_{n})+4\sum_{\substack{k=1\k\text{ ímpar}}}^{n-1}f(t_{k})+2\sum_{\substack{k=2\k\text{ par}}}^{n-2}f(t_{k})\Bigr).
  • Aqui f(t)=\sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}.

Passo 7

Escolhi n=8 (passos de tamanho h=\tfrac{1}{8}=0,125). Isso dá boa precisão sem ser cansativo. Calculamos t_{k}=k\cdot0,125 para k=0,\dots,8 e avaliamos f(t_{k}).
Lista dos nós e cálculo detalhado de f(t)=\sqrt{1+12t+36t^{2}+36t^{4}}:
  • t_{0}=0:
f(0)=\sqrt{1}=1.
  • t_{1}=0,125:
t_{1}^{2}=0,015625,\quad t_{1}^{4}=0,000244140625,
f(0,125)=\sqrt{1+12\cdot0,125+36\cdot0,015625+36\cdot0,000244140625} \approx\sqrt{3,0712890625}\approx 1,75251.
  • t_{2}=0,25:
t_{2}^{2}=0,0625,\quad t_{2}^{4}=0,00390625,
f(0,25)=\sqrt{1+12\cdot0,25+36\cdot0,0625+36\cdot0,00390625} =\sqrt{6,390625}\approx 2,52770.
  • t_{3}=0,375:
t_{3}^{2}=0,140625,\quad t_{3}^{4}=0,019775390625,
f(0,375)\approx\sqrt{11,2744140625}\approx 3,35750.
  • t_{4}=0,5:
t_{4}^{2}=0,25,\quad t_{4}^{4}=0,0625,
f(0,5)=\sqrt{18,25}\approx 4,27200.
  • t_{5}=0,625:
t_{5}^{2}=0,390625,\quad t_{5}^{4}=0,152587890625,
f(0,625)\approx\sqrt{28,0556640625}\approx 5,29620.
  • t_{6}=0,75:
t_{6}^{2}=0,5625,\quad t_{6}^{4}=0,31640625,
f(0,75)\approx\sqrt{41,640625}\approx 6,45330.
  • t_{7}=0,875:
t_{7}^{2}=0,765625,\quad t_{7}^{4}=0,586181640625,
f(0,875)\approx\sqrt{60,1650390625}\approx 7,75500.
  • t_{8}=1:
f(1)=\sqrt{85}\approx 9,219544457.
(Obs.: arredondei os valores de f(t_{k}) mostrando 5 casas significativas para manter clareza.)

Passo 8

Aplicamos a Regra de Simpson com h=0,125:
\begin{aligned} L &\approx \frac{h}{3}\Bigl(f(t_{0})+f(t_{8})+4\bigl(f(t_{1})+f(t_{3})+f(t_{5})+f(t_{7})\bigr) \\\ &\qquad\qquad +2\bigl(f(t_{2})+f(t_{4})+f(t_{6})\bigr)\Bigr). \end{aligned}
Calculamos as somas (usando os valores aproximados do passo anterior):
  • Soma dos termos com coeficiente 4:
f(t_{1})+f(t_{3})+f(t_{5})+f(t_{7})\approx 1,75251+3,35750+5,29620+7,75500=17,16121.
  • Soma dos termos com coeficiente 2:
f(t_{2})+f(t_{4})+f(t_{6})\approx 2,52770+4,27200+6,45330=13,25300.
Agora substituímos:
\begin{aligned} L &\approx \frac{0,125}{3}\Bigl(1+9,219544457+4\cdot17,16121+2\cdot13,25300\Bigr)\\\ &=0,0416666667\cdot 105,370388257\approx 4,39043. \end{aligned}

Passo 9

Interpretação do resultado e verificação rápida: o valor faz sentido por inspeção — o integrando cresce de 1 até cerca de 9,22, e a área sob a curva (comprimento) fica em torno de 4,39. A Regra de Simpson com n=8 costuma dar boa precisão; se você quiser maior precisão na prova não há problema em usar n=16 ou uma calculadora simbólica, mas o procedimento e o valor aproximado já estão corretos e justificáveis.

Resposta

4,39043

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