Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\langle x y, y z, z x\rangle. Use o Teorema de Stokes para calcular \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é o quadrado no plano z=1 com vértices (1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,1),(-1,1,1), orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} para \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x y,\,y z,\,z x\rangle e C é o quadrado no plano z=1 com vértices (1,1,1)\to(1,-1,1)\to(-1,-1,1)\to(-1,1,1) orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde S é a superfície plana z=1 delimitada por C e \mathbf{n} é a normal compatível com a orientação de C.
Passo 2
Calcular \nabla\times\mathbf{F}.
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ x y&y z&z x \end{vmatrix} =\bigl(\partial_y(zx)-\partial_z(yz),\;\partial_z(xy)-\partial_x(zx),\;\partial_x(yz)-\partial_y(xy)\bigr).