Calcule oint f(z) d z para a seguinte função e contorno:
f(z)=tg(pi z), ao longo do círculo unitário centrado na origem;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno em funções complexas. A gente precisa calcular a integral oint f(z) dz, onde f(z) = tan(pi z), ao longo do círculo unitário centrado na origem. Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas encontrando os resíduos das singularidades da função dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função f(z) = tan(pi z). Sabemos que tan(pi z) = sin(pi z)cos(pi z), então as singularidades acontecem onde cos(pi z) = 0. Isso ocorre quando pi z = pi2 + kpi, ou seja, z = 12 + k, onde k é inteiro.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do círculo unitário |z| = 1. As singularidades são z = 12 + k. Vamos ver para quais valores de k temos |z| < 1:
  • Para k = 0, z = 12, e |12| = 12 < 1.
  • Para k = 1, z = 32, e |32| = 32 > 1.
  • Para k = -1, z = -12, e |-12| = 12 < 1.
Então, as singularidades dentro do círculo unitário são z = 12 e z = -12.

Passo 4

Agora, vamos calcular os resíduos dessas duas singularidades. O resíduo de f(z) em z = z0 é dado por:
Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z)
Para f(z) = tan(pi z), temos:
Res(tan(pi z), z0) = limz to z0 (z - z0) tan(pi z) = limz to z0 (z - z0) sin(pi z)cos(pi z)

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em z = 12:
Res(tan(pi z), 12) = limz to 12 (z - 12) sin(pi z)cos(pi z)
Sabendo que cos(pi z) se anula em z = 12 e usamos a derivada da função no denominador:
Res(tan(pi z), 12) = sin(pi2)pi (-sin(pi2)) = -1pi

Passo 6

Da mesma forma, para z = -12, temos:
Res(tan(pi z), -12) = limz to -12 (z + 12) sin(pi z)cos(pi z) = sin(-pi2)pi (-sin(-pi2)) = -1pi

Passo 7

Agora aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
oint f(z) dz = 2pi i ( -1pi + -1pi ) = 2pi i ( -2pi ) = -4i

Resposta

A integral oint tan(pi z) dz ao longo do círculo unitário centrado na origem é -4i.

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