Calcule
para a seguinte função e contorno:
, ao longo do círculo unitário centrado na origem;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno em funções complexas. A gente precisa calcular a integral
, onde
, ao longo do círculo unitário centrado na origem. Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas encontrando os resíduos das singularidades da função dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função
. Sabemos que
, então as singularidades acontecem onde
. Isso ocorre quando
, ou seja,
, onde
é inteiro.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do círculo unitário
. As singularidades são
. Vamos ver para quais valores de
temos
:
- Para
, , e . - Para
, , e . - Para
, , e .
Então, as singularidades dentro do círculo unitário são
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os resíduos dessas duas singularidades. O resíduo de
em
é dado por:
Para
, temos:
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
:
Sabendo que
se anula em
e usamos a derivada da função no denominador:
Passo 6
Da mesma forma, para
, temos:
Passo 7
Agora aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Então:
Resposta
A integral
ao longo do círculo unitário centrado na origem é
.