Encontre o valor da integral:
tomando o contorno no sentido anti-horário ao longo do círculo: centrado em -2 com raio 3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \frac{dz}{z^{3}(z+4)} $ ao longo de um círculo centrado em -2 com raio 3, seguindo o sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar um pouco de Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ \frac{1}{z^{3}(z+4)} $ tem singularidades, ou seja, onde ela não está definida. Esses pontos são chamados de polos.
Passo 3
A função $ \frac{1}{z^{3}(z+4)} $ tem polos quando o denominador é zero:
- $ z^{3} = 0 $ => $ z = 0 $ (polo de ordem 3)
- $ z + 4 = 0 $ => $ z = -4 $ (polo simples)
Passo 4
Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do nosso contorno, que é um círculo centrado em -2 com raio 3. Para isso, calculamos a distância de cada polo até o centro do círculo:
- Distância de $ z = 0 $ até -2: $ |0 - (-2)| = 2 $
- Distância de $ z = -4 $ até -2: $ |-4 - (-2)| = 2 $
Como o raio do círculo é 3, ambos os polos estão dentro do contorno, pois 2 < 3.
Passo 5
Agora que sabemos quais polos estão dentro do contorno, usamos o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. O teorema diz que a integral ao redor do contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos da função nos polos dentro do contorno.
Passo 6
Vamos calcular os resíduos em cada polo:
Polo em $ z = 0 $ (ordem 3):
Para calcular o resíduo de uma função $ f(z) $ em um polo de ordem $ n $, usamos a fórmula:
Aqui, $ n = 3 $ e $ z_0 = 0 $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, avaliando em $ z = 0 $:
Então,
Polo em $ z = -4 $ (ordem 1):
Para um polo simples, o resíduo é simplesmente:
Passo 7
Agora, somamos os resíduos dentro do contorno:
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale $ 0 $.