Encontre o valor da integral:
oint d zz^3(z+4)
tomando o contorno no sentido anti-horário ao longo do círculo: centrado em -2 com raio 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \frac{dz}{z^{3}(z+4)} $ ao longo de um círculo centrado em -2 com raio 3, seguindo o sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar um pouco de Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ \frac{1}{z^{3}(z+4)} $ tem singularidades, ou seja, onde ela não está definida. Esses pontos são chamados de polos.

Passo 3

A função $ \frac{1}{z^{3}(z+4)} $ tem polos quando o denominador é zero:
  • $ z^{3} = 0 $ => $ z = 0 $ (polo de ordem 3)
  • $ z + 4 = 0 $ => $ z = -4 $ (polo simples)

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do nosso contorno, que é um círculo centrado em -2 com raio 3. Para isso, calculamos a distância de cada polo até o centro do círculo:
  • Distância de $ z = 0 $ até -2: $ |0 - (-2)| = 2 $
  • Distância de $ z = -4 $ até -2: $ |-4 - (-2)| = 2 $
Como o raio do círculo é 3, ambos os polos estão dentro do contorno, pois 2 < 3.

Passo 5

Agora que sabemos quais polos estão dentro do contorno, usamos o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. O teorema diz que a integral ao redor do contorno é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos da função nos polos dentro do contorno.

Passo 6

Vamos calcular os resíduos em cada polo:
Polo em $ z = 0 $ (ordem 3):
Para calcular o resíduo de uma função $ f(z) $ em um polo de ordem $ n $, usamos a fórmula:
z = 0
Aqui, $ n = 3 $ e $ z_0 = 0 $:
f(z)
Primeira derivada:
n
Segunda derivada:
Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [(z - z0)^n f(z)]
Agora, avaliando em $ z = 0 $:
n = 3
Então,
z0 = 0
Polo em $ z = -4 $ (ordem 1):
Para um polo simples, o resíduo é simplesmente:
Res(1z^3(z+4), 0) = 12! limz to 0 d^2dz^2 [ z^3 cdot 1z^3(z+4) ] = 12 limz to 0 d^2dz^2 ( 1z+4 )

Passo 7

Agora, somamos os resíduos dentro do contorno:
Res(0) + Res(-4) = 164 + ( -164 ) = 0

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
oint dzz^3(z+4) = 2pi i times (Res(0) + Res(-4)) = 2pi i times 0 = 0

Resposta

A integral vale $ 0 $.

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