Considere a função:
f(x, y)=ll 1, & se x, y in Q cap[0,1] 0, & caso contrário á
Pode-se mostrar que a função f não é contínua em nenhum ponto de seu domínio.
  1. Mostre que a integral dupla de f em R=[0,1] times[0,1] não existe.
  2. Explique por que o Teorema de Fubini não se aplica a f e discuta a importância de suas hipóteses.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 1,&se x,yinQcap[0,1], 0,&caso contrário, á
em R=[0,1]times[0,1] e pede:
  1. Mostrar que a integral dupla de Riemann de f em R não existe.
  2. Explicar por que o Teorema de Fubini (para integrais de Riemann) não se aplica, destacando a importância de suas hipóteses.
    O conteúdo principal que vamos usar é a definição de integral dupla de Riemann via somas de Darboux (sups e infs em cada subretângulo) e a versão de Fubini que exige integrabilidade de f.

Passo 2

Para ver que f não é Riemann-integrável em R, considere qualquer partição P de R em subretângulos Rij. Em cada Rij, pelas densidades de Q e de RsetminusQ em [0,1], existem pontos com f=1 e pontos com f=0. Logo, para todo Rij
sup(x,y)in Rijf(x,y)=1, inf(x,y)in Rijf(x,y)=0
Isto implica que, chamando de S(P,f) a soma superior e de s(P,f) a soma inferior, vale
S(P,f)=sumij(supRijf),area(Rij) =sumij1cdotarea(Rij)=1,
s(P,f)=sumij(infRijf),area(Rij) =sumij0cdotarea(Rij)=0
Como isso independe de P, a integral inferior de Darboux é
integralRf=S* =0 e a integral superior é
integralRf=S^* =1.
Como integralRfneqintegralRf, a integral dupla de Riemann de f em R não existe.

Passo 3

O Teorema de Fubini para integrais de Riemann diz, basicamente:
“Se f é (Riemann)-integrável em R, então as integrais iteradas
integral0^1l(integral0^1 f(x,y),dyr)dx e
integral0^1l(integral0^1 f(x,y),dxr)dy existem e são iguais à integral dupla.”
Aqui, porém, f não é integrável, de modo que a hipótese essencial do teorema falha. Além disso, note que para cada xin[0,1] fixo:
  • Se xinQ, então f(x,y) como função de y é a clássica função de Dirichlet em [0,1], que não é integrável em y.
  • Se xnotinQ, então f(x,y)equiv0, que é integrável.
    Logo, a função xmapstointegral0^1 f(x,y),dy está indefinida sempre que xinQ, e portanto o iterado integral0^1l(integral0^1 f(x,y),dyr)dx não existe. Mesmo raciocínio vale trocando a ordem. Assim, Fubini não se aplica porque lhe falta a hipótese de integrabilidade de f.

Passo 4

As hipóteses de continuidade quase em todo lugar ou de integrabilidade são cruciais em Fubini para garantir que, em cada fatia (fixando x ou y), a função seja integrável e as somas de Darboux convirjam de forma compatível. Sem integrabilidade de f em R, não há como trocar soma dupla por soma iterada nem garantir existência dos iterados.

Resposta

  1. A integral dupla de Riemann de f em R não existe porque a soma superior é sempre 1 e a inferior é sempre 0.
  2. O Teorema de Fubini não se aplica pois exige que f seja integrável em R; aqui f não é integrável e, além disso, os integrais iterados também não existem.

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