Seja f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2. Determine o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo a curva
y=2 x

Passo 1

Enunciado: Temos a função de duas variáveis f(x,y)=\frac{x^2 - y2}{x2 + y^2}$ e queremos o limite quando (x,y)→(0,0) ao longo da curva y=2x. Conteúdo: limites de funções de várias variáveis e parametrização de trajetórias.

Passo 2

Substituímos y pela equação da curva y=2x. Assim, obtemos f ao longo da curva:
f(x,2x)=x^2 - (2x)^2x^2 + (2x)^2

Passo 3

Simplificamos numerador e denominador:
f(x,2x)=x^2 - 4x^2x^2 + 4x^2=-3x^25x^2

Passo 4

Cancelamos o fator x^2 (válido para x≠0) e vemos que f(x,2x) é constante igual a -3/5 para x≠0. Portanto, ao levar x→0, o valor não muda.

Resposta

-\nfrac{3}{5}

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