Calcule ointC y x^2 d x+x d y, em que C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2) percorrido no sentido anti-horário:
usando o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de linha ointC y x^2,dx + x,dy sobre o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,2), no sentido anti-horário. Como se trata de um campo em R^2, vamos usar o Teorema de Green, que diz:
Seja P(x,y),dx + Q(x,y),dy um campo clássico e C=partial D fechado e orientado positivamente, então
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA

Passo 2

Primeiro identificamos P(x,y)=y x^2 e Q(x,y)=x. Calculamos as derivadas parciais:
1 - x^2

Logo o integrando de Green é .

Passo 3

Agora descrevemos a região D do triângulo. As arestas são:
– Base em y=0, de x=0 a x=1.
– Lado vertical em x=1, de y=0 a y=2.
– Hipotenusa em y=2x, de x=0 a x=1.
Assim podemos parametrizar D como
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2x

Passo 4

Montamos o duplo integral:
integral duplaD (1 - x^2),dA = integralx=0^1 integraly=0^2x (1 - x^2),dy,dx
Integrando primeiro em y:
integraly=0^2x (1 - x^2),dy = (1 - x^2)l[yr]0^2x = (1 - x^2)cdot 2x = 2x - 2x^3
Depois integramos em x:
integral0^1 (2x - 2x^3),dx = 2integral0^1 (x - x^3),dx = 2l[x^22 - x^44r]0^1 = 2l(12 - 14r) = 12

Resposta

tfrac12

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