Considere a elipse
parametrizada por
;
e a função
Calcule
Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma elipse
parametrizada pela função para
no intervalo
, e uma função
. O objetivo é calcular a integral de linha
. Isso envolve o cálculo de integrais de linha ao longo de curvas parametricamente definidas.
Passo 2
Para resolver essa integral de linha, precisamos parametrizar a curva e expressar tudo em termos do parâmetro
. A parametrização dada é , então
e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. Calculando:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o módulo de
, que representa o elemento diferencial de comprimento
. Calculamos:
Passo 5
Agora, substituímos
na função
:
Passo 6
A integral de linha
pode ser expressa como uma integral definida em termos de
:
Passo 7
Essa integral pode ser simplificada multiplicando os termos dentro da raiz:
Passo 8
Expandindo os termos dentro da raiz:
Passo 9
Embora possamos tentar simplificar ainda mais, essa integral não possui uma solução elementar simples. Portanto, podemos optar por avaliá-la numericamente usando métodos de integração.
Resposta
A integral de linha
corresponde a:
Que pode ser avaliada numericamente para obter o valor final.