Considere a elipse C2 parametrizada por varphi(t)=(cos (t), 1+2 sen(t)); t in[0,2 pi] e a função f(x, y)=raiz1+3 x^2
Calcule ointC2 f d r

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma elipse parametrizada pela função para no intervalo , e uma função . O objetivo é calcular a integral de linha . Isso envolve o cálculo de integrais de linha ao longo de curvas parametricamente definidas.

Passo 2

Para resolver essa integral de linha, precisamos parametrizar a curva e expressar tudo em termos do parâmetro . A parametrização dada é , então e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de varphi'(t) = ( dxdt, dydt ) = ( -sen(t), 2cos(t) ) em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Calculando:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o módulo de | varphi'(t) | = raiz ( -sen(t) )^2 + ( 2cos(t) )^2 = raiz sen^2(t) + 4cos^2(t) , que representa o elemento diferencial de comprimento . Calculamos:

Passo 5

Agora, substituímos f(x(t), y(t)) = raiz1 + 3 cos^2(t) na função :

Passo 6

A integral de linha ointC2 f , dr = integral0^2pi f(x(t), y(t)) cdot | varphi'(t) | , dt = integral0^2pi raiz1 + 3cos^2(t) cdot raiz sen^2(t) + 4cos^2(t) , dt pode ser expressa como uma integral definida em termos de :

Passo 7

Essa integral pode ser simplificada multiplicando os termos dentro da raiz:

Passo 8

Expandindo os termos dentro da raiz:

Passo 9

Embora possamos tentar simplificar ainda mais, essa integral não possui uma solução elementar simples. Portanto, podemos optar por avaliá-la numericamente usando métodos de integração.

Resposta

A integral de linha integral0^2pi raiz1 + 3cos^2(t) cdot raiz sen^2(t) + 4cos^2(t) , dt corresponde a:
Que pode ser avaliada numericamente para obter o valor final.

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