Calcule a onda resultante da interferência de duas ondas senoidais, ambas com a mesma amplitude, o mesmo número de onda e a mesma frequência. As ondas viajam em direções opostas. Comente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede a soma (superposição) de duas ondas senoidais de mesma amplitude A, mesmo número de onda k e mesma frequência angular \omega, uma viajando para a direita e outra para a esquerda. Vamos usar o princípio de superposição e a identidade trigonométrica para somar \sin\alpha+\sin\beta.

Passo 2

Escrevendo cada onda:
y_{1}(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)
y_{2}(x,t)=A\sin\bigl(kx+\omega t\bigr)

Passo 3

Pela superposição, a onda resultante é
y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) =A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)+A\sin\bigl(kx+\omega t\bigr).

Passo 4

Usamos a identidade
\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr).
Aqui \alpha=kx-\omega t e \beta=kx+\omega t, logo
y(x,t) =2A\sin\bigl(kx\bigr)\cos\bigl(\omega t\bigr).

Passo 5

Interpretando o resultado, vemos que não há termo kx\pm\omega t misturado: a forma de onda é “presa” no espaço. A amplitude em cada ponto x é 2A\sin(kx), que oscila no tempo como \cos(\omega t). Os nós (onde a amplitude é zero) ocorrem em
\sin(kx)=0\quad\Rightarrow\quad x_n=\frac{n\pi}{k},
e os antinós (máximos de amplitude) em
kx=\frac{(2n+1)\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{(2n+1)\pi}{2k}.
Isso caracteriza uma onda estacionária: não há transporte de energia para a frente, apenas oscilações locais.

Resposta

y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t).
Trata-se de uma onda estacionária com nós em x=n\pi/k e antinós em x=(2n+1)\pi/(2k).

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