(2,0 pontos) Na forma complexa, a equação do oscilador amortecido forçado é dada por
\ddot{z}+\gamma \dot{z}+\omega_{0}^{2} z=\frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t}
Mostre que z(t)=A e^{i \omega t} é solução da equação com A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i \omega \gamma\right)}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação do oscilador amortecido forçado na forma complexa
\ddot{z} + \gamma \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \frac{F_{0}}{m} e^{i \omega t}
e pede para mostrar que uma solução particular é
z(t) = A e^{i \omega t}
com
A = \frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i\,\omega\,\gamma\bigr)}.
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método de tentativa de solução por exponenciais complexas.

Passo 2

Assumimos a forma particular
z(t) = A e^{i \omega t}.
Calculamos as derivadas necessárias:
\dot{z}(t) = i \,\omega\,A\,e^{i \omega t},
\ddot{z}(t) = (i \,\omega)^{2} A\,e^{i \omega t} = -\omega^{2}A\,e^{i \omega t}.

Passo 3

Substituímos \ddot z, \dot z e z na equação diferencial:
\ddot{z} + \gamma \dot{z} + \omega_{0}^{2} z = \bigl(-\omega^{2}A + \gamma\,i\,\omega\,A + \omega_{0}^{2}A\bigr)e^{i \omega t} = A\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i\,\omega\,\gamma\bigr)e^{i \omega t}.

Passo 4

Para que isso seja igual a \tfrac{F_{0}}{m}e^{i\omega t}, precisamos de
A\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i\,\omega\,\gamma\bigr) = \frac{F_{0}}{m}.
Isolando A, obtemos
A = \frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i\,\omega\,\gamma\bigr)}.

Resposta

A = \frac{F_{0}}{m\bigl(\omega_{0}^{2} - \omega^{2} + i\,\omega\,\gamma\bigr)}.

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