(2,0 pontos) Verifique se a funçäo
x(t)=t e^{-\frac{7}{2} t}
é solução da equação \bar{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0 para \omega_{0}=\gamma / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
x(t)=t\,e^{-\frac{7}{2}t}
e a equação diferencial
\ddot{x} + \gamma\,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0
com \omega_{0} = \gamma/2. Para verificar se x(t) é solução, precisamos calcular \dot{x}(t) e \ddot{x}(t) e substituir na equação.

Passo 2

Cálculo de \dot{x}(t):
\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{-\frac{7}{2}t}\bigr) = e^{-\frac{7}{2}t} - \frac{7}{2}\,t\,e^{-\frac{7}{2}t} = e^{-\frac{7}{2}t}\bigl(1 - \tfrac{7}{2}t\bigr).

Passo 3

Cálculo de \ddot{x}(t):
\ddot{x}(t) = \frac{d}{dt}\Bigl[e^{-\frac{7}{2}t}\bigl(1 - \tfrac{7}{2}t\bigr)\Bigr] = -\tfrac{7}{2}\,e^{-\frac{7}{2}t}\bigl(1 - \tfrac{7}{2}t\bigr) + e^{-\frac{7}{2}t}\bigl(-\tfrac{7}{2}\bigr) = e^{-\frac{7}{2}t}\Bigl(\tfrac{49}{4}\,t - 7\Bigr).

Passo 4

Substituindo \dot{x} e \ddot{x} em \ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_0^2x e usando \omega_0=\gamma/2, obtemos
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_0^2x = e^{-\frac{7}{2}t}\Bigl[ t\Bigl(\tfrac{49}{4} - \tfrac{7}{2}\gamma + \tfrac{\gamma^2}{4}\Bigr) +\bigl(-7 + \gamma\bigr) \Bigr].
Para ser solução, o coeficiente de t e o termo constante dentro dos colchetes devem ser zero.

Passo 5

Impondo as condições
\tfrac{49}{4} - \tfrac{7}{2}\gamma + \tfrac{\gamma^2}{4} = 0, \qquad -7 + \gamma = 0,
da segunda equação vem \gamma=7. Substituindo na primeira:
\tfrac{49}{4} - \tfrac{7}{2}\cdot7 + \tfrac{7^2}{4} = \tfrac{49}{4} - \tfrac{49}{2} + \tfrac{49}{4} = 0,
confirma-se a solução.

Resposta

A função x(t)=t\,e^{-\tfrac{7}{2}t} satisfaz
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0
se \gamma=7 e, consequentemente, \omega_{0}=\tfrac{\gamma}{2}=\tfrac{7}{2}.

Exercícios relacionados