Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 onde
F(t)=t^2 / 3 i+cos t^2 j+3 t k

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de uma função vetorial
F(t) = t^2/3,i + cosl(t^2r),j + 3t,k
O conteúdo envolvido é derivação de funções vetoriais: basta derivar cada componente escalar separadamente, usando regra da potência e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos a componente em i, que é t^2/3. Pela regra da potência,
ddtl(t^2/3r) = 23,t^2/3-1 = 23,t^-1/3

Passo 3

Derivamos a componente em j, que é cosl(t^2r). Usando regra da cadeia, se u=t^2 então
ddtl(cos ur) = -sin(u),dudt = -sinl(t^2r)cdot 2t = -2t,sinl(t^2r)

Passo 4

Derivamos a componente em k, que é 3t. Como é função linear em t,
ddtl(3tr)=3
Assim a primeira derivada é
dFdt = 23,t^-1/3,i ;+; l(-2t,sin(t^2)r),j ;+; 3,k

Passo 5

Para a segunda derivada, derivamos de novo cada componente de dFdt:
  1. Componente i:
ddtl(tfrac23t^-1/3r) = 23cdotl(-tfrac13r),t^-1/3-1 = -29,t^-4/3
  1. Componente j: seja g(t)=-2t,sin(t^2). Aplicamos produto u=-2t, v=sin(t^2):
g'(t) = u',v + u,v' = (-2),sin(t^2) + (-2t),l(cos(t^2)cdot 2tr) = -2,sin(t^2) -4t^2,cos(t^2)
  1. Componente k: derivada de 3 é zero.

Passo 6

Logo a segunda derivada fica
d^2Fdt^2 = l(-tfrac29,t^-4/3r),i ;+;l(-2,sin(t^2)-4t^2,cos(t^2)r),j ;+;0,k

Resposta

dFdt = 23,t^-1/3,i -2t,sin(t^2),j +3,k,
d^2Fdt^2 = -29,t^-4/3,i -l(2,sin(t^2)+4t^2,cos(t^2)r),j

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