Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=2 x yy-x^2,,

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos l(x0,y0r) em que o problema de valor inicial
y'(x)=f(x,y(x)), y(x0)=y0,
com
f(x,y)=2xyy - x^2,
tem garantia de existência (e unicidade) de solução local via o teorema de Picard–Lindelöf.

Passo 2

Para aplicar esse teorema precisamos de um retângulo ao redor de l(x0,y0r) onde:
1. f(x,y) seja contínua,
2. partial f/partial y seja contínua (garantindo condição de Lipschitz em y).
Note que f(x,y) está bem definida sempre que o denominador não se anula, ou seja,
y - x^2neq0

Passo 3

Logo, o domínio natural de f é
D=(x,y)mid yneq x^2,
e em cada ponto de D ambas as funções f e
partial fpartial y
são contínuas.

Passo 4

Bastando garantir (x0,y0)in D, ou seja
y0-x0^2neq0,
o teorema assegura existência e unicidade local da solução do PVI.

Resposta

Todos os pontos l(x0,y0r) tais que
y0neq x0^2

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