Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma
. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável
. Resolva as seguintes e.d.o:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli de primeira ordem
com
. Vamos usar a mudança de variável típica de Bernoulli,
, e transformar a equação numa equação linear em
.
Passo 2
Identificamos a forma padrão
com
Passo 3
Definimos
Diferenciando, usando a regra da cadeia, obtemos
ou seja
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Multiplicando tudo por
dá
Como
, a equação fica linear em
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
:
que é
Integrando ambos os lados:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando a
, temos
Invertemos para encontrar
:
logo
Resposta
com
constante de integração.