Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y^prime+p(x) y=q(x) y^alpha ; alpha neq 0,1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável v=y^1-alpha. Resolva as seguintes e.d.o:
y^prime+yx=x^2 y^4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli de primeira ordem
y' + 1x,y = x^2,y^4,
com alpha=4. Vamos usar a mudança de variável típica de Bernoulli, ,v = y^1-alpha = y^-3, e transformar a equação numa equação linear em v.

Passo 2

Identificamos a forma padrão
y' + p(x),y = q(x),y^alpha,
com
p(x)=1x, q(x)=x^2, alpha=4

Passo 3

Definimos
v = y^1-alpha = y^-3
Diferenciando, usando a regra da cadeia, obtemos
v' = -3,y^-4,y',
ou seja
y' = -13,y^4,v'

Passo 4

Substituímos y' na equação original:
-13y^4v' + 1xy = x^2y^4
Multiplicando tudo por -3,y^-4
v' - 3x,y^-3 = -3,x^2
Como y^-3=v, a equação fica linear em v:
v' - 3x,v = -3,x^2

Passo 5

Para resolver
v' - 3x,v = -3,x^2,
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(-integral 3x,dxr) = x^-3
Multiplicando a equação por x^-3:
x^-3v' - 3x^-4v = -3x^-1,
que é
ddxl(x^-3vr) = -3,x^-1
Integrando ambos os lados:
x^-3v = -3integral x^-1dx = -3lnlvert xrvert + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando a v = y^-3, temos
y^-3 = x^3l(-3lnlvert xrvert + Cr)
Invertemos para encontrar y:
y^3 = 1x^3,(C - 3lnlvert xrvert),
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y(x) = 1x,[,C - 3lnlvert xrvert,]^1/3

Resposta

y(x) = 1xl(C - 3lnlvert xrvertr)^1/3,
com C constante de integração.

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