Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y^prime+p(x) y=q(x) y^alpha ; alpha neq 0,1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável v=y^1-alpha. Resolva as seguintes e.d.o:
y^prime+3 y=5 y^3.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
y'+3y=5y^3,
que tem p(x)=3, q(x)=5 e alpha=3. Para transformar em uma EDO linear, usamos a mudança de variável
v=y^1-alpha=y^-2

Passo 2

Vamos obter a EDO para v. Diferenciando v=y^-2,
dvdx=(1-alpha)y^-alphay'=-2,y^-3y'
Como y'=5y^3-3y pela equação original, substituímos em dvdx:
dvdx=-2,y^-3l(5y^3-3yr)=-2l(5-3y^-2r)=-10+6y^-2
Mas y^-2=v, logo obtemos a EDO linear em v:
dvdx-6v=-10

Passo 3

Para resolver
dvdx-6v=-10
calculamos o fator integrante mu(x)=e^-6x. Multiplicando ambos os lados por mu(x)
ddxl(v,e^-6xr)=-10e^-6x
Integrando em x,
v,e^-6x=integral -10e^-6x,dx=53e^-6x+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Isolando v:
v=53+Ce^6x

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que v=y^-2, temos
y^-2=53+Ce^6x Longrightarrow y=pm1raiztfrac53+Ce^6x
A constante “ pm” reflete que y pode ser positiva ou negativa, além da solução trivial y=0.

Resposta

y(x)=pm1raiz53+Ce^6x, CinR

Exercícios relacionados