Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma
. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável
. Resolva as seguintes e.d.o:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Bernoulli
que tem
,
e
. Para transformar em uma EDO linear, usamos a mudança de variável
Passo 2
Vamos obter a EDO para
. Diferenciando
,
Como
pela equação original, substituímos em
:
Mas
, logo obtemos a EDO linear em
:
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
dá
Integrando em
,
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Isolando
:
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, temos
A constante “
” reflete que
pode ser positiva ou negativa, além da solução trivial
.