Calcule
integralegral triplaB e^x^2 d x d y d z, onde B=(x, y, z) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= x, 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral triplo de e^x^2 sobre a região
B = (x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x,;0<= z<=1
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para separar as integrais e, em seguida, usar uma substituição para resolver a parte em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini temos
integral triplaBe^x^2,dx,dy,dz =integralx=0^1integraly=0^xintegralz=0^1e^x^2,dz,dy,dx
Como e^x^2 independe de z e de y,
integralz=0^1dz=1, integraly=0^xdy=x
Logo sobra calcular
integral0^1x,e^x^2,dx

Passo 3

Para resolver integral0^1x,e^x^2,dx faça a substituição
u = x^2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Quando x varia de 0 a 1, u varia de 0 a 1. Assim
integral0^1x,e^x^2,dx = integralu=0^1e^u,12,du = tfrac12integral0^1e^u,du

Passo 4

Calculando o integral em u:
tfrac12integral0^1e^u,du = tfrac12l[e^ur]0^1 = tfrac12l(e^1-e^0r) = tfrace-12

Resposta

integral triplaBe^x^2,dx,dy,dz = e-12

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