Calcule integral duplaD e^y^2 d A, onde D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1, x <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^y^2,dA,
onde
D = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= 1,; x <= y <= 1
Vamos usar o Teorema de Fubini para reescrever como iterada e, em seguida, fazer uma substituição.

Passo 2

Para aplicar Fubini de forma conveniente, trocamos a ordem de integração. Note que em D temos 0<= x<= y<=1, o que equivale a
0 <= y <= 1, 0 <= x <= y
Logo,
integral duplaD e^y^2,dA = integraly=0^1!integralx=0^y e^y^2,dx,dy

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integralx=0^y e^y^2,dx = e^y^2l[xr]0^y = y,e^y^2

Passo 4

Fica então
integraly=0^1 y,e^y^2,dy
Fazemos a substituição u = y^2, de modo que du = 2y,dy e, quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim,
integraly=0^1 y,e^y^2,dy = 12 integralu=0^1 e^u,du

Passo 5

A integral em u é imediata:
12 integral0^1 e^u,du = 12l[e^ur]0^1 = 12l(e - 1r)

Resposta

e - 12

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