Desenhe a imagem das seguintes funções:
F(t)=(e^-t cos (t), e^-t sen(t), e^-t), t >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica em R^3,
F(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(e^-tcos t,;e^-tsin t,;e^-tr), t>=0
O conteúdo é “curvas em R^3”; para desenhar a imagem, vamos analisar a projeção no plano xy e a relação entre x, y e z.

Passo 2

Veja a projeção no plano xy:
(x(t),y(t))=l(e^-tcos t,;e^-tsin tr)
Isto é uma espiral logarítmica decrescente cujo raio
rho(t)=raizx(t)^2+y(t)^2=e^-t
vai de 1 em t=0 até 0 quando tto+infty.

Passo 3

Compare rho(t) com z(t):
z(t)=e^-t=rho(t)
Logo a curva satisfaz
raizx^2+y^2=z Longrightarrow x^2+y^2=z^2,
ou seja, está inteiramente contida no cone reto de vértice na origem e semi-ângulo de 45^circ.

Passo 4

Identifique pontos notáveis e comportamento:
  • Em t=0:
F(0)=(1,0,1),
início da espiral no ponto (1,0,1).
  • Quando tto+infty:
e^-tto0 Longrightarrow F(t)to(0,0,0),
a espiral dá voltas cada vez mais próximas da origem.

Passo 5

Como esboçar:
  1. Desenhe o cone x^2+y^2=z^2, z>=0.
  2. Sobre ele, trace uma curva que parte de (1,0,1) e vai enrolando em torno do eixo z, descendo (pois z=e^-t decresce) até se aproximar da origem.

Resposta

A imagem de F é uma espiral cônica que parte de (1,0,1), envolve o eixo z infinitamente, decai exponencialmente e tende ao ponto (0,0,0), confinada ao cone de equação x^2+y^2=z^2.

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