Esboce o mapa de contornos.
f(x,y)=x^2+3y^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente trace o mapa de contornos (ou curvas de nível) da função
f(x,y)=x^2+3y^2
Aqui o conteúdo é “contornos de uma função de duas variáveis” e vamos precisar usar a definição de nível
(x,y)mid f(x,y)=c para vários valores de c.

Passo 2

Uma curva de nível associada a um valor fixo c>=0 é o conjunto
(x,y)mid f(x,y)=c
ou seja
(x,y)mid x^2+3y^2=c

Passo 3

A equação
x^2+3y^2=c
é reconhecida como uma elipse centrada na origem, com interceptos:
&y=0 Rightarrow x=pmraizc, &x=0 Rightarrow y=pmraiztfracc3
Logo, para cada c fixo desenhamos uma elipse de semi-eixos
raizc ao longo do eixo x e raizc/3 ao longo do eixo y.

Passo 4

Escolhendo, por exemplo, c=1,2,3,4 teremos elipses cada vez maiores e concêntricas. Ao esboçar:
- Para c=1, semi-eixos raiz1=1 e raiz1/3.
- Para c=2, semi-eixos raiz2 e raiz2/3.
- E assim por diante, sempre expandindo conforme c cresce.

Resposta

O mapa de contornos de f(x,y)=x^2+3y^2 é uma família de elipses centradas na origem, cujos semi-eixos são
raizc (eixo x) e raizc/3 (eixo y), para valores crescentes de c.

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