Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para achar um fator integrante que a torne exata e, em seguida, resolver a EDO. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de
ou de
. Vamos primeiro checar se já é exata, depois buscar um fator integrante simples (função só de
ou só de
) e finalmente integrar.
Passo 2
Escrevendo
calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso, verificamos se
é função somente de
. Aqui
que é constante. Logo podemos tomar
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
, obtendo
que agora é exata. Buscamos
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo
é constante.
Resposta
A solução geral fica, de modo implícito,
onde
é constante de integração.