Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO: y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y(x+y+1),dx + (x+2y),dy = 0
e pede para achar um fator integrante que a torne exata e, em seguida, resolver a EDO. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de x ou de y. Vamos primeiro checar se já é exata, depois buscar um fator integrante simples (função só de x ou só de y) e finalmente integrar.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y) = y(x+y+1), N(x,y) = x+2y,
calculamos
partial Mpartial y = x + 2y + 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante mu que dependa só de x. Para isso, verificamos se
partial Mpartial y-partial Npartial xN
é função somente de x. Aqui
(x+2y+1)-1x+2y = x+2yx+2y = 1,
que é constante. Logo podemos tomar
mu(x) = exp!gl(integral 1,dxgr) = e^x

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=e^x, obtendo
tilde M,dx + tilde N,dy = 0, tilde M = e^x y(x+y+1), tilde N = e^x(x+2y),
que agora é exata. Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = tilde M, partial Psipartial y = tilde N
Integramos tilde M em x:
Psi(x,y) = integral e^x y(x+y+1),dx = yintegral e^x(x+y+1),dx = yl[e^x(x-1)+(y+1)e^xr] + H(y)
= e^xl[xy - y + y^2 + yr] + H(y) = e^xl(xy + y^2r) + H(y)
Derivando em y e igualando a tilde N:
partial Psipartial y = e^x(x+2y) + H'(y) overset!= e^x(x+2y) Longrightarrow H'(y)=0
Logo H é constante.

Resposta

A solução geral fica, de modo implícito,
e^x,y,(x+y)=C,
onde C é constante de integração.

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