Calcule nabla cdot(nabla times F) onde
F(x, y, z)=e^x z i+3 x e^y j-e^y z k

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a divergência do rotacional do campo vetorial F . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo os conceitos de divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial e depois a divergência desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial F . O rotacional, denotado por nabla times F , mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Para calcular nabla times F , usamos a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F :
F(x, y, z) = e^xz i + 3x e^y j - e^y z k
Ou seja, temos:
Fx = e^xz, Fy = 3x e^y, Fz = -e^y z
Agora, vamos calcular cada parte do rotacional:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y (-e^y z) = -z e^y z
  2. partial Fypartial z = partialpartial z (3x e^y) = 0 (porque não depende de z )
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z (e^x z) = x e^x z
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x (-e^y z) = 0 (porque não depende de x )
  5. partial Fypartial x = partialpartial x (3x e^y) = 3 e^y
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y (e^x z) = 0 (porque não depende de y )
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (-z e^y z - 0) i + (x e^x z - 0) j + (3 e^y - 0) k = -z e^y z i + x e^x z j + 3 e^y k

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional. A divergência, denotada por nabla cdot , de um campo vetorial G = Gx i + Gy j + Gz k é dada por:
nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z
Aplicando isso ao nosso rotacional nabla times F :
Gx = -z e^y z, Gy = x e^x z, Gz = 3 e^y
Calculando as derivadas:
  1. partial Gxpartial x = partialpartial x (-z e^y z) = 0 (não depende de x )
  2. partial Gypartial y = partialpartial y (x e^x z) = 0 (não depende de y )
  3. partial Gzpartial z = partialpartial z (3 e^y) = 0 (não depende de z )
Somando tudo:
nabla cdot (nabla times F) = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

0

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