Considere a seguinte proposição: Se
então
Decida se a proposição é Verdadeira ou Falsa. (Justifique sua resposta).
Decida se a proposição é Verdadeira ou Falsa. (Justifique sua resposta).
Passo 1
O enunciado pede para analisar a implicação
O conteúdo aqui é inequação racional. Para resolver, precisamos encontrar o conjunto de
que satisfaz
lembrando que o domínio exige
, e estudar casos conforme o sinal de
.
Passo 2
Estudamos separadamente os dois casos para o denominador
:
- Caso A:
, ou seja . Nesse caso multiplicamos ambos os lados de
porsem inverter o sinal da desigualdade. - Caso B:
, ou seja . Aqui ao multiplicar por invertemos o sinal da desigualdade.
Passo 3
Caso A (
):
Fatorando,
Como estamos em
, obtemos
Passo 4
Caso B (
): ao multiplicar por
invertemos a desigualdade:
os cálculos levam a
Não há interseção entre
e
. Logo, neste caso não existem soluções.
Passo 5
O conjunto-solução da inequação é
que está totalmente contido em
. Além disso, para
a hipótese é falsa, fazendo a implicação também verdadeira. Portanto, sempre que
vale, temos de fato .
vale, temos de fato
Resposta
A proposição é Verdadeira.