Considere a seguinte proposição: Se 3 x^2-3 x+3x-1>2 x+5 então x>1
Decida se a proposição é Verdadeira ou Falsa. (Justifique sua resposta).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a implicação
Se 3x^2-3x+3x-1>2x+5 então x>1 ã
O conteúdo aqui é inequação racional. Para resolver, precisamos encontrar o conjunto de x que satisfaz
3x^2-3x+3x-1>2x+5,
lembrando que o domínio exige xneq1, e estudar casos conforme o sinal de x-1.

Passo 2

Estudamos separadamente os dois casos para o denominador x-1:
  • Caso A: x-1>0, ou seja x>1. Nesse caso multiplicamos ambos os lados de
    3x^2-3x+3x-1>2x+5
    por x-1 sem inverter o sinal da desigualdade.
  • Caso B: x-1<0, ou seja x<1. Aqui ao multiplicar por x-1 invertemos o sinal da desigualdade.

Passo 3

Caso A ( x>1):
3x^2-3x+3>(2x+5)(x-1)
3x^2-3x+3>2x^2+3x-5
3x^2-3x+3-2x^2-3x+5>0 Longrightarrow x^2-6x+8>0
Fatorando,
(x-2)(x-4)>0 Longrightarrow x<2ou x>4
Como estamos em x>1, obtemos
1<x<2ou x>4

Passo 4

Caso B ( x<1): ao multiplicar por x-1<0 invertemos a desigualdade:
3x^2-3x+3<(2x+5)(x-1)
os cálculos levam a
x^2-6x+8<0 Longrightarrow 2<x<4
Não há interseção entre 2<x<4 e x<1. Logo, neste caso não existem soluções.

Passo 5

O conjunto-solução da inequação é
(1,2)cup(4,infty),
que está totalmente contido em x>1. Além disso, para x<=1 a hipótese é falsa, fazendo a implicação também verdadeira. Portanto, sempre que
3x^2-3x+3x-1>2x+5
vale, temos de fato x>1.

Resposta

A proposição é Verdadeira.

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